Перегляд вихідного коду сторінки Векторний простір

[[File:Vector add scale.svg|200px|thumb|right|Додавання векторів і множення вектора на скаляр: вектор {{math|'''v'''}} (синій) додається до іншого вектора {{math|'''w'''}} (червоного, верхня ілюстрація). Унизу, '''w''' видовжений множенням на 2, показано суму {{math|'''v''' + 2'''w'''}}.]]
'''Ве́кторний (ліні́йний) про́стір'''&nbsp;— основне поняття [[лінійна алгебра|лінійної алгебри]], узагальнення множини всіх [[вектор]]ів на [[координатна площина|площині]] чи в [[багатовимірний простір|просторі]] з операціями ''[[додавання векторів]]'' та ''[[множення вектора на скаляр]]''.

Прикладом векторного простору є [[Вектор (математика)|Евклідові вектори]]. Вони відображають [[Фізика|фізичні]] величини такі як [[Сила|сили]]: будь-які дві сили (однакової природи) можна додавати між собою і отримати в результаті третю, а множення вектору сили на дійсний множник дає інший вектор сили. Аналогічним чином, але в більш [[Геометрія|геометричному]] сенсі, вектори що відображають переміщення в площині або у [[Тривимірний опис об'єкта|тривимірному просторі]] також утворюють векторні простори. Вектори у векторному просторі не обов'язково повинні бути  об'єктами у вигляді стрілок, як їх часто наведено в прикладах: вектори слід розглядати як абстрактні математичні об'єкти із певними властивостями, які в деяких випадках можна зобразити у вигляді направлених відрізків (стрілок).

Елементи лінійного простору називаються векторами, але не робиться ніяких припущень стосовно природи чи походження цих елементів. Наприклад, у [[функціональний аналіз|функціональному аналізі]] розглядаються [[топологічний векторний простір|топологічні векторні простори]], утворені з [[функція (математика)|функцій]] однієї чи кількох змінних, а [[вектор стану|вектори стану]] в [[квантова механіка|квантовій механіці]] описують стан квантової системи. [[Матриця (математика)|Матриці]] заданого розміру також утворюють векторний простір. Зміст наведених нижче аксіом полягає у тому, що незалежно від природи елементів векторного простору, їхнє додавання і множення на скаляр задовольняють правила «шкільної алгебри».

У довільному векторному просторі '''не визначені''' операції [[скалярний добуток|скалярного]], [[векторний добуток|векторного]] добутку; [[норма вектора|норми]] чи [[метрика простору|метрики]]. Ці операції можуть вводитись як додаткові [[математичні структури|структури]]. Проте векторні простори із [[скалярний добуток|скалярним]] або [[ермітів скалярний добуток|ермітовим скалярним добутком]] відіграють важливу роль як у лінійній алгебрі, так і поза її межами, див. напр. [[гільбертів простір]].

== Приклади ==
Поняття векторного простору можна спершу пояснити за допомогою двох окремих прикладів:

=== Направлені відрізки на площині ===

У першому прикладі векторний простір складається із «стрілок» на [[Площина|площині]], що беруть початок із однієї фіксованої точки, що є початком відліку. У фізиці їх використовують аби описати сили або [[Швидкість|швидкості]]. Нехай дано дві такі стрілки, {{math|'''v'''}} і {{math|'''w'''}}, і [[паралелограм]], що утворений двома цими направленими відрізками містить діагональ, що бере початок з тієї ж точки. Ця нова побудована стрілка є ''сумою'' двох попередніх стрілок&nbsp;— {{math|'''v''' + '''w'''}}. В особливому випадку коли стрілки знаходяться на одній прямій, їхньою сумою буде стрілка на цій прямій, довжина якої дорівнювати сумі або різниці довжин, і залежності від того чи мали стрілки однаковий напрям чи ні. Іншою операцією яку можна виконати над стрілками є масштабування: для будь-якого даного додатного [[Дійсне число|дійсного числа]] {{math|''a''}}, стрілка що має такий самий напрямок як {{math|'''v'''}}, але його довжина збільшена або зменшена множенням на {{math|''a''}}, називається ''добутком'' вектора {{math|'''v'''}} на скаляр {{math|''a''}}. Він позначається як {{math|''a'''''v'''}}. Якщо {{math|''a''}} від'ємне, {{math|''a'''''v'''}} результатом буде стрілка, що вказує в протилежному напрямку.

На наступних зображеннях наведено два приклади: якщо {{math|1=''a'' = 2}}, результуючий вектор {{math|''a'''''w'''}} має спільний напрямок із {{math|'''w'''}}, але збільшену вдвічі довжину відносно {{math|'''w'''}} (зображення праворуч знизу). Аналогічно, {{math|2'''w'''}} є сумою {{math|'''w''' + '''w'''}}. Крім того, {{math|1=(−1)'''v''' = −'''v'''}} має протилежний напрям і однакову довжину з {{math|'''v'''}} (вектор, що вказує вниз і показаний синім на зображенні праворуч).

<gallery>
File:Vector addition3.svg|Додавання векторів: сума {{math|'''v''' + '''w'''}} (чорним) векторів {{math|'''v'''}} (синім) і {{math|'''w'''}} (червоним).
File:Scalar multiplication.svg|Скалярний добуток: множення {{math|−'''v'''}} і {{math|2'''w'''}}.
</gallery>

=== Впорядковані пари чисел ===

У другому ключовому прикладі векторний простір задано парами дійсних чисел {{math|''x''}} і {{math|''y''}}. (Важливим є порядок входження компонент {{math|''x''}} і {{math|''y''}}, тому така пара ще називається [[Впорядкована пара|впорядкованою парою]].) Записується вона наступним чином&nbsp;— {{math|(''x'', ''y'')}}. Сума двох таких пар і множення пари чисел на число визначатиметься таким чином:
: {{math|(''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>)}} + {{math|(''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>)}} {{math|1== (''x''<sub>1</sub> + ''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>1</sub> + ''y''<sub>2</sub>)}}
і
: {{math|1=''a''&thinsp;(''x'', ''y'') = (''ax'', ''ay'')}}.

Перший приклад зводиться до даного прикладу, якщо направлені відрізки буде представлено парою [[Декартова система координат|декартових координат]] їх кінцевих точок.

== Означення ==
'''Лінійний простір''' над [[поле (алгебра)|полем]] <math>\mathbb{K}</math>&nbsp;— це [[множина]] <math>L \!</math> елементи якої називаються векторами, у якій визначені:
* [[бінарна операція]] <math>\ L \times L \to L</math> ''додавання векторів'': <math>(\vec{u},\vec{v})\mapsto \vec{u}+\vec{v}</math>
* [[унарна операція]] <math>\ K \times L \to L</math> ''множення вектора на скаляр'': <math>(\lambda,\vec{u}) \mapsto \lambda \vec{u}</math>
що задовільняють наступну систему аксіом<ref>{{cite book
|автор=А. И. Кострикин, Ю. И. Манин
|назва=Линейная алгебра и геометрия
}}</ref>:
* <math>L</math>&nbsp;— [[комутативна група]] відносно операції додавання векторів:
** <math> \vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}</math> ([[комутативність]] додавання)
** <math> (\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})</math> ([[асоціативність]] додавання)
** <math>\exist \vec{0}\in L: \quad \vec{u}+\vec{0}=\vec{u}</math> (існування [[нульовий вектор|нульового вектора]])
** <math>\exist -\vec{u}\in L: \quad \vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}</math> (існування [[обернений елемент|протилежного вектора]])
* [[асоціативність]] та унітарність множення на скаляри:
**<math>\lambda(\mu \vec{u})=(\lambda\mu)\vec{u}</math> ([[асоціативність]] множення на скаляри)
**<math>1 \cdot \vec{u} = \vec{u}</math> (де <math>\ 1</math> це [[нейтральний елемент множення|одиниця]] поля <math>\mathbb{K}</math>)
* [[дистрибутивність]] додавання і множення на скаляр:
** <math> (\lambda+\mu)\vec{u}=\lambda\vec{u}+\mu\vec{u}</math>
** <math> \lambda(\vec{u}+\vec{v})=\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}</math>

<math>\forall \vec{u},\vec{v},\vec{w} \in L</math>

<math>\forall \lambda,\mu\in\mathbb{K}</math>

Найпоширеніші лінійні простори над полем <math>\R</math> [[дійсні числа|дійсних чисел]] або <math>\Complex</math> [[комплексні числа|комплексних чисел]].

== Пов'язані визначення ==

* Основними поняттями в лінійному просторі є: [[лінійна незалежність векторів]], [[базис (математика)|базис]], [[лінійний підпростір|підпростір]].

* Пізніше за векторний простір було введено загальніше поняття [[модуль над кільцем|модуля над кільцем]], у визначенні якого поле <math>\mathbb{K}</math> замінено на кільце <math>\mathbb{K}</math>. Але в лінійній алгебрі воно не розглядається через проблеми з існуванням [[базис (математика)|базиса]].

==Історія==
Векторні простори беруть початок із [[Афінна геометрія|афінної геометрії]] після запровадження [[Система координат|координат]] на площині і в тривимірному просторі. Приблизно в 1636, [[Рене Декарт|Декарт]] і [[П'єр Ферма|Ферма]] започатковують [[Аналітична геометрія|аналітичну геометрію]], коли починають вирішувати рівняння із двома змінними, що є точками на [[Крива|кривій]] в площині.<ref>{{Harvard citations|last = Bourbaki|year = 1969|nb = yes|loc = ch. "Algèbre linéaire et algèbre multilinéaire", pp. 78–91}}</ref> В 1804, аби отримати геометричні рішення без використання координат, [[Бернард Больцано|Больцано]] запропонував певні операції над точками, прямими і площинами, що були попередниками векторів.<ref>{{Harvard citations|last = Bolzano|year = 1804|nb = yes}}</ref> Його роботу згодом використав [[Август Фердинанд Мебіус|Мебіус]] в 1827 при введені поняття [[Барицентричні координати|барицентричних координат]].<ref>{{Harvard citations|last = Möbius|year = 1827|nb = yes}}</ref> В 1828 {{нп|С. В. Мурей|Мурей|en|C. V. Mourey}} припустив існування алгебри, що перевершує не тільки звичайну алгебру, але також і двовимірну алгебру, яку він створив в пошуках геометричної інтерпретації комплексних чисел.<ref>{{Citation |title=A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of a Vectorial System |last1=Crowe |first1=Michel J. |year=1994 |publisher=Dover |isbn= 0-486-67910-1 |page=11 and 16}}</ref>

Визначення векторів було засновано на понятті пари точок (англ. bipoint) Беллавітіса, що є орієнтованим сегментом, в якому один кінець є початком, а другий ціллю. Згодом його було опрацьовано {{нп|Жан-Роберт Арранд|Аррандом|en|Jean-Robert Argand}} і [[Вільям Ровен Гамільтон|Гамільтоном]] із представленням у вигляді [[Комплексне число|Комплексних чисел]] і згодом при введені понять [[Кватерніони|кватерніонів]] і бікватерніонів.<ref>{{Harvard citations|last = Hamilton|year = 1853|nb = yes}}</ref> Вони є елементами у {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}, {{math|'''R'''<sup>4</sup>}}, і {{math|'''R'''<sup>8</sup>}}; ставлення до них як до [[Лінійна комбінація|лінійних комбінацій]] ввів {{нп|Едмонд Лагерр|Едмон Лагерр|en|Edmond Laguerre}} ще у 1867, який також дав визначення [[Система лінійних алгебраїчних рівнянь|системам лінійних рівнянь]].

В 1857, [[Артур Кейлі]] запропонував [[Матриця_(математика)#Означення_та_нотація|матричну нотацію]], що дозволяє гармонізувати та спростити [[Лінійне відображення|лінійні перетворення]]. Близько в той самий час, [[Герман Грассман]] вивчав барицентричні розрахунки, які започаткував Мебіус. Він уявляв множини із абстрактних об'єктів, над якими виконувалися операції.<ref>{{Harvard citations|last = Grassmann|year = 1844|nb = yes}}</ref> В його роботі фігурували поняття [[Лінійно незалежні вектори|лінійної незалежності]] і [[Розмірність простору|розмірність]], а також [[скалярний добуток]]. Першим хто дав сучасне визначення векторному простору і лінійним відображенням в 1888 р. був [[Джузеппе Пеано]] 1888.<ref>{{Harvard citations|last = Peano|year = 1888|nb = yes |loc = ch. IX}}</ref>

Важливим фактором розвитку векторних просторів була побудова [[Анрі Леон Лебег|Лебегом]] функціональних просторів. Близько 1920 це поняття формалізували [[Стефан Банах]] і [[Давид Гільберт]].<ref>{{Harvard citations|last = Banach|year = 1922|nb = yes}}</ref> В той час, [[алгебра]] почала взаємодіяти із новою областю - [[функціональний аналіз|функціональним аналізом]], зокрема, за допомогою таких ключових понять як [[Простір Lp|простір ''p''-інтегрованих функцій]] і [[Гільбертів простір|Гільбертіві простіри]].<ref>{{Harvard citations|last = Dorier|year = 1995|nb = yes}}, {{Harvard citations|last = Moore|year = 1995|nb = yes}}</ref> Векторні простори, в тому числі нескінченно-вимірні, стали тоді добре вкоріненим поняттям, і багато галузей математики почали використовувати його.

== Базис і вимір ==
{{Main|Базис (математика)|l1=Базис<!--|dimension (linear algebra)|l2=Dimension-->}}
[[Файл:Vector components and base change.svg|Вектор {{math|'''v'''}} із множини {{math|'''R'''<sup>2</sup>}} (синім) заданий за допомогою різних базисів: із використанням стандартного базису для {{math|1='''R'''<sup>2</sup> '''v''' = ''x'''''e'''<sub>1</sub> + ''y'''''e'''<sub>2</sub>}} (чорне), і з використанням іншого, не-[[Ортогональність|ортогонального]] базису: {{math|1='''v''' = '''f'''<sub>1</sub> + '''f'''<sub>2</sub>}} (червоне).|thumb|200px]]

Різні ''базиси'' дозволяють задати вектор за допомогою [[Послідовність|послідовності]] скалярів, що називаються ''координатами'' або ''компонентами'' вектора. Базис це (скінченна або нескінченна) множина {{math|1=''B'' = {'''b'''<sub>''i''</sub>}<sub>''i'' ∈ ''I''</sub>}} векторів {{math|'''b'''<sub>''i''</sub>}}, для зручності вона часто може індексуватися за допомогою деякої множини індексів {{math|''I''}}, що охоплює весь простір і є [[Лінійно незалежні вектори|лінійно незалежним]]. Під поширенням на весь простір розуміють, що будь-який вектор {{math|'''v'''}} можна задати як скінченну суму (що називається ''[[Лінійна комбінація|лінійною комбінацією]]'') із базових елементів:
{{NumBlk|:|<math>\mathbf{v} = a_1 \mathbf{b}_{i_1} + a_2 \mathbf{b}_{i_2} + \cdots + a_n \mathbf{b}_{i_n},</math>|{{EquationNote|1}}}}
де {{math|''a''<sub>''k''</sub>}} це скаляри, що називаються координатами (або компонентами) вектора {{math|'''v'''}} відповідно до базису {{math|''B''}}, і {{math|'''b'''<sub>''i''<sub>''k''</sub></sub>}} {{math|1=(''k'' = 1, ..., ''n'')}} елементів із {{math|''B''}}. Під лінійною незалежністю розуміють, що координати {{math|''a''<sub>''k''</sub>}} є однозначно визначені для будь-якого вектору у векторному просторі.

Наприклад, вектори координат {{math|1='''e'''<sub>1</sub> = (1, 0, ..., 0)}}, {{math|1='''e'''<sub>2</sub> = (0, 1, 0, ..., 0)}}, до {{math|1='''e'''<sub>''n''</sub> = (0, 0, ..., 0, 1)}}, утворюють базис із {{math|''F''<sup>''n''</sup>}}, що називається стандартним базисом, оскільки будь-який вектор {{math|(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)}} може бути унікально представлений як лінійна комбінація цих векторів:
: {{math|1=(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) = ''x''<sub>1</sub>(1, 0, ..., 0) + ''x''<sub>2</sub>(0, 1, 0, ..., 0) + ... + ''x''<sub>''n''</sub>(0, ..., 0, 1) = ''x''<sub>1</sub>'''e'''<sub>1</sub> + ''x''<sub>2</sub>'''e'''<sub>2</sub> + ... + ''x''<sub>''n''</sub>'''e'''<sub>''n''</sub>}}.
Відповідні координати {{math|''x''<sub>1</sub>}}, {{math|''x''<sub>2</sub>}}, {{math|...}}, {{math|''x''<sub>''n''</sub>}} є [[Декартова система координат|декартовими координатами]] вектора.

Кожен векторний простір має базис. Це випливає із [[Лема Цорна|леми Цорна]], що є еквівалентним формулюванням [[Аксіома вибору|Аксіоми вибору]].<ref>{{Harvard citations|last = Roman|year = 2005|nb = yes|loc=Theorem 1.9, p. 43}}</ref> У інші аксіомах із [[Теорія множин Цермело — Френкеля|теорії множин Цермело&nbsp;— Френкеля]], існування базису також еквівалентне аксіомі вибору.<ref>{{Harvard citations|last = Blass|year = 1984|nb=yes}}</ref> [[Теорема про булеві прості ідеали|лема про ультрафільтр]], що є слабшою за аксіому вибору, покладається на те, що всі вектори векторного простору мають однакову кількість елементів, або [[Потужність множини|потужність]] (див. ''{{нп|Теорема про вимір векторних просторів||en|Dimension theorem for vector spaces}}'').<ref>{{Harvard citations|last = Halpern|year = 1966|nb = yes|loc=pp. 670–673}}</ref> Це називають ''розмірністю'' векторного простору. Якщо простір складається із нескінченної множини векторів, вищезгадане твердження можливо довести без настільки фундаментального введення в теорію множин.<ref>{{Harvard citations|last = Artin|year = 1991|nb = yes|loc=Theorem 3.3.13}}</ref>

== Лінійні відображення і матриці ==
{{Main|Лінійне відображення}}
[[Файл:Vector components.svg|180px|right|thumb|Описання направленого вектору '''v''' за допомогою його координат ''x'' і ''y'' утворює ізоморфізм векторних просторів.]]
Співвідношення двох векторних просторів можна задати за допомогою ''лінійного відображення'' або ''лінійного перетворення''. Це такі [[Функція (математика)|функції]], які відображають структуру векторного простору&nbsp;— тобто, вони зберігають суми і скалярний добуток:
: ''f''('''x''' + '''y''') = ''f''('''x''') + ''f''('''y''') і ''f''(''a'' &middot; '''x''') = ''a'' &middot; ''f''('''x''') для всіх '''x''' і '''y''' в ''V'', всіх ''a'' в ''F''.<ref>{{Harvard citations|last = Roman|year = 2005|nb = yes|loc=ch. 2, p. 45}}</ref>

''[[Ізоморфізм]]''&nbsp;— лінійне відображення {{math|''f'' : ''V'' → ''W''}} для якого існує [[Обернена функція|обернене відображення]] {{math|''g'' : ''W'' → ''V''}}, що є таким відображенням, для якого дві можливі [[Композиція функцій|композиції]] {{math|''f'' ∘ ''g'' : ''W'' → ''W''}} і {{math|''g'' ∘ ''f'' : ''V'' → ''V''}} є [[Тотожне відображення|тотожними відображеннями]]. Відповідно, ''f'' буде одночасно [[Ін'єкція (математика)|ін'єкцією]] і [[сюр'єкція|сюр'єкцією]].<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|nb = yes|loc=ch. IV.4, Corollary, p. 106}}</ref> Якщо існує ізоморфізм між ''V'' і ''W'', ці два простори називають ''ізоморфними''; тоді по суті як векторні простори вони будуть ідентичними, оскільки всі тотожності, що виконуються для ''V'' за допомогою ''f'', перетворюються на подібні в ''W'', і навпаки, за допомогою ''g''.

Наприклад, якщо векторні простори «направлених відрізків на площині» і «впорядкованих пар чисел» є ізоморфними: направлений відрізок '''v''' на площині, що виходить із [[Початок координат|початку координат]] деякої (фіксованої) [[Система координат|системи координат]] можна задати за допомогою впорядкованої пари ''x''- і ''y''-компонент, як показано на малюнку праворуч. І навпаки, для даної пари (''x'', ''y''), напрям відрізку праворуч (або ліворуч, якщо ''x'' є від'ємним) буде задавати значення ''x'' , а ''y''&nbsp;— вгору (вниз, якщо ''y'' є від'ємним), що дозволяє повернутися назад до направленого відрізку '''v'''.

=== Матриці ===
{{Main|Матриця (математика)|l1=Матриця|Визначник}}
[[Файл:Matrix.svg|right|thumb|200px|Типова матриця]]
''Матриці'' є зручною нотацію, для описання лінійних відображень.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|nb = yes|loc=ch. V.1}}</ref> Вони записуються у вигляді впорядкованого прямокутного масиву скалярів як показано на малюнку праворуч. Будь-яка матриця ''A'' розміром ''m''-на-''n'' збільшує лінійне відображення із ''F''<sup>''n''</sup> до ''F''<sup>''m''</sup>, наступним чином
: <math>\mathbf x = (x_1, x_2, \cdots, x_n) \mapsto \left(\sum_{j=1}^n a_{1j}x_j, \sum_{j=1}^n a_{2j}x_j, \cdots, \sum_{j=1}^n a_{mj}x_j \right)</math>, де <math>\sum</math> позначає [[Сума|суму]], або, використовуючи [[Множення матриць|матричне множення]] матриці {{math|''A''}} на вектор координат {{math|'''x'''}}:
: <cite id=equation2>{{math|'''x''' ↦ ''A'''''x'''}}</cite>.
Крім того, якщо обрати базиси для {{math|''V''}} і {{math|''W''}}, ''будь-яке'' лінійне відображення {{math|''f'' : ''V'' → ''W''}} однозначно можна задати за допомогою цього рівняння.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|nb = yes|loc=ch. V.3., Corollary, p. 106}}</ref>

[[Файл:Determinant parallelepiped.svg|200px|right|thumb|Об'єм цього [[паралелепіпед]]а дорівнює абсолютному значенню детермінанта матриці розміром 3-на-3, що утворена векторами {{math|''r''<sub>1</sub>}}, {{math|''r''<sub>2</sub>}}, і {{math|''r''<sub>3</sub>}}.]]
[[Детермінант]] {{math|det (''A'')}} [[Квадратна матриця|квадратної матриці]] {{math|''A''}} є скаляром, який вказує чи є це відображення ізоморфізмом чи ні: аби це було так достатньо і необхідно аби детермінант не дорівнював нулю.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|nb = yes|loc=Theorem VII.9.8, p. 198}}</ref> Лінійне перетворення {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, що відповідає дійсній матриці ''n''-на-''n'' [[Орієнтація|зберігає орієнтацію]] тоді і лише тоді, коли детермінант є додатнім.

== Див. також ==
{{multicol}}
*[[Лінійний підпростір]]
*[[Афінний простір]]
*[[Банахів простір]]
*[[Гільбертів простір]]
{{multicol-break}}
*[[Ермітів простір]]
*[[Евклідів простір]]
*[[Норма (функціонал)]]
*[[Топологічний простір]]
{{multicol-end}}

== Примітки ==
{{reflist|2}}

== Джерела ==
* {{Гельфанд.Линейная алгебра}}
* {{Мальцев.Основы линейной алгебры}}

{{Math-stub}}

[[Категорія:Лінійна алгебра]]