Перегляд вихідного коду сторінки Двійковий логарифм

[[File:Binary logarithm plot with ticks.svg|thumbnail|right|upright=1.35|Графік {{math|log<sub>2</sub>''x''}} як функції додатних дійсних чисел {{mvar|x}}]]

В [[Математика|математиці]], '''двійковий логарифм''' ({{math|log<sub>2</sub>''n''}}) це степінь, до якої треба піднести число {{math|2}}, щоб отримати значення&nbsp;{{mvar|n}}. І це, для будь-якого дійсного числа {{mvar|x}},
:<math>x=\log_2 n \quad\Longleftrightarrow\quad 2^x=n.</math>
Наприклад, двійковий логарифм числа {{math|1}} є {{math|0}}, двійковий логарифм від {{math|2}} є {{math|1}}, двійковий логарифм від {{math|4}} дорівнює&nbsp;{{math|2}}, а двійковий логарифм від {{math|32}} це&nbsp;{{math|5}}.

Бінарний логарифм це [[логарифм]] за основою {{math|2}}. Функція двійкового логарифму є [[Обернена функція|є оберненою функцією]] функції [[Степені 2|степені двійки]]. Разом із звичайним позначенням {{math|log<sub>2</sub>}}, існують альтернативні позначення бінарного логарифму такі як: {{math|lg}}, {{math|ld}}, {{math|lb}}, і (із попереднім узгодженням, що за умовчанням основою позначеного так логарифму є&nbsp;2) {{math|log}}.

Історично, перше застосування двійковий логарифм знайшло в [[Теорія музики|теорії музики]], його використав [[Леонард Ейлер]]: двійковий логарифм відношення частот двох музичних тонів дає розрахувати кількість [[octave|октав]], на які відрізняються ці тони. Двійковий логарифм можна застосувати для розрахунку довжини представлення числа в [[Двійкова система числення|двійковій системі числення]], або кількість [[біт]], необхідних аби закодувати повідомлення в [[Теорія інформації|теорії інформації]]. В [[Інформатика|комп’ютерних науках]], вони використовуються для підрахунку кількості кроків, які треба здійснити при [[Двійковий пошук|двійковому пошуку]] і подібних алгоритмах. Інші області, в яких часто використовується двійковий логарифм, це: [[Комбінаторика|комбінаторику]], [[Біоінформатика|біоінформатику]], планування спортивних [[Турнір|турнірів]], і [[Фотографія|фотографію]].

Бінарні логарифми включено до стандартних [[math.h|математичних функцій мови програмування C]] і до інших математичних програмних пакетів.
Цілу частину двійкового логарифму можна знайти здійснивши операцію [[find first set]] над цілим числом, або шляхом пошуку експоненти значення [[Число з рухомою комою|з рухомою комою]].

==Історія==
{{Main|Історія логарифмів}}
[[File:Leonhard Euler.jpg|thumb|upright=0.75|[[Леонард Ейлер]] був першим, хто застосував двійкові логарифми в [[Теорія музики|теорії музики]], у 1739.]]
[[Степені 2|Степені двійки]] були відомі і використовувались ще з античних часів; наприклад вони присутні в [[Начала Евкліда|Euclid's ''Elements'']], Книга IX.32 (про [[Факторизація|факторизацію]] степенів двійки) і IX.36 (в частині [[Euclid–Euler theorem|Евклідово-Ейлерової теореми]], про структуру парних [[Досконале число|досконалих чисел]]).
А двійковий логарифм степені двійки позначав позицію в впорядкованій послідовності степенів двійки.
На основі цього, [[Михаель Штифель]] створив і опублікував першу відому таблицю двійкових логарифмів в 1544. Його книга ''Arthmetica Integra'' містила декілька таблиць, які впорядковували [[integer|цілі]] числа із відповідними їхніми степенями двійки. Якщо розвернути навпаки рядки цих таблиць їх можна інтерпретувати як таблиці двійкових логарифмів.<ref>
{{Citation|title = Precalculus mathematics|first1 = Vivian Shaw|last1= Groza |first2= Susanne M. |last2=Shelley|publisher = Holt, Rinehart and Winston|location=New York|year=1972|isbn=978-0-03-077670-0|page = 182|url = https://books.google.com/books?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182}}.</ref><ref>{{citation
 | last = Stifel | first = Michael | author-link = Michael Stifel
 | language = Latin
 | page = 31
 | title = Arithmetica integra
 | url = https://books.google.com/books?id=fndPsRv08R0C&pg=PA22
 | year = 1544}}. Копія тієї самої таблиці з двома додатковими записами згадується на с.&nbsp;237, і інша копія розширена до від’ємних значень знаходиться на с.&nbsp;249b.</ref>

Раніше за Штифеля, у 8-му столітті [[Джайнізм|Джайнійському]] математику [[Virasena|Вірасена]] створив попередника двійкового логарифма. Концепція Вірасена, що називалася ''ardhacheda'' визначалася як кількість разів, при яких задане число можна поділити порівну на два. Це визначення приводить до функції, яка за змістом співпадає з двійковим логарифмом за основою два,<ref>{{citation|url=https://books.google.com/books?id=ymud91nTc9YC&pg=PA352|page=352|title=The Crest of the Peacock|first=G. G.|last=Joseph|edition=3rd|publisher=Princeton University Press|year=2011}}.</ref> але відрізняється для інших цілих, і дає [[p-adic order|2-адичний порядок]], а не логарифм.<ref>See, e.g., {{citation|title=Cryptographic Applications of Analytic Number Theory: Complexity Lower Bounds and Pseudorandomness|volume=22|series=Progress in Computer Science and Applied Logic|first=Igor|last=Shparlinski|publisher=Birkhäuser|year=2013|isbn=978-3-0348-8037-4|page=35|url=https://books.google.com/books?id=z635BwAAQBAJ&pg=PA35}}.</ref>

Сучасна форма двійкового логарифму, що застосовується до будь-якого числа (не лише степені двійки) була в явному вигляді розглянута [[Леонард Ейлер|Леонардом Ейлером]] в 1739. Ейлер започаткував використання двійкових логарифмів в теорії музики, задовго до їхнього більш значимого використання в теорії інформації і комп’ютерних науках. Як частину своєї роботи в цій сфері, Ейлер опублікував таблицю логарифмів для цілих чисел від 1 до 8, з точністю до сьомого десяткового знаку точності.<ref>{{citation
 | last = Euler | first = Leonhard | author-link = Leonhard Euler
 | contribution = Chapter VII. De Variorum Intervallorum Receptis Appelationibus
 | language = Latin
 | pages = 102–112
 | publisher = Saint Petersburg Academy
 | title = Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae
 | url = http://eulerarchive.maa.org/pages/E033.html
 | year = 1739}}.</ref><ref>{{citation|title=London encyclopaedia; or, Universal dictionary of science, art, literature and practical mechanics: comprising a popular view of the present state of knowledge, Volume 4|first=Thomas|last=Tegg|year=1829|contribution=Binary logarithms|pages=142–143|url=https://books.google.com/books?id=E-ZTAAAAYAAJ&pg=PA142}}.</ref>

==Визначення і властивості==
Функцію двійкового логарифму можна визначити як [[Обернена функція|обернену функцію]] від функції [[Степені 2|степені двійки]], що строго зростає в області додатних [[Дійсні числа|дійсних чисел]] і таким чином має одну єдину зворотню функцію.<ref>{{citation|title=Introduction to Mathematics for Life Scientists|publisher=Springer|year=2012|first=E.|last=Batschelet|isbn=978-3-642-96080-2|url=https://books.google.com/books?id=vbT0CAAAQBAJ&pg=PA128|page=128}}.</ref>
Альтернативним шляхом, її можна визначити як {{math|ln ''n''/ln 2}}, де {{math|ln}} є [[Натуральний логарифм|натуральним логарифмом]], визначений одним із своїх стандартних способів. Використання [[complex logarithm|комплексного логарифму]] в такому визначення дозволяє розширити застосування двійкового логарифму для [[Комплексне число|комплексних чисел]].<ref>Наприклад, [[Microsoft Excel]] надає функцію <code>IMLOG2</code> для комплексних двійкових логарифмів: див. {{citation|title=Excel Scientific and Engineering Cookbook|first=David M.|last=Bourg|publisher=O'Reilly Media|year=2006|isbn=978-0-596-55317-3|page=232|url=https://books.google.com/books?id=uKctiVg2dyIC&pg=PT248}}.</ref>

Як і для інших логарифмів, двійковий логарифм задовольняє наступним рівнянням, які можуть використовуватись для спрощення формул, які поєднують двійкові логарифми із множенням або зведенням в ступінь:<ref>{{citation|title=Algebra for College Students|first1=Bernard|last1=Kolman|first2=Arnold|last2=Shapiro|publisher=Academic Press|year=1982|isbn=978-1-4832-7121-7|url=https://books.google.com/books?id=i7vSBQAAQBAJ&pg=PA334|pages=334–335|contribution=11.4 Properties of Logarithms}}.</ref>
:<math>\log_2 xy=\log_2 x + \log_2 y</math>
:<math>\log_2\frac{x}{y}=\log_2 x - \log_2 y</math>
:<math>\log_2 x^y = y\log_2 x.</math>

==Застосування==

===Теорія інформації===
Кількість розрядів ([[біт]]) в [[Двійкова система числення|двійковому представленні]] додатного цілого {{mvar|n}} дорівнюватиме [[Ціла частина числа|цілій частині]] числа {{math|1 + log<sub>2</sub>''n''}}.<ref name="sw11">{{citation|title=Algorithms|first1=Robert|last1=Sedgewick|author1-link=Robert Sedgewick (computer scientist)|first2=Kevin Daniel|last2=Wayne|publisher=Addison-Wesley Professional|year=2011|isbn=978-0-321-57351-3|page=185|url=https://books.google.com/books?id=MTpsAQAAQBAJ&pg=PA185}}.</ref>

:<math> \lfloor \log_2 n\rfloor + 1. \, </math>

В теорії інформації, визначення кількості [[Власна інформація|власної інформації]] та [[Інформаційна ентропія|інформаційна ентропія]] часто задаються за допомогою двійкового логарифму, тим самим представляючи біт як фундаментальну одиницю інформації. Однак, в альтернативних представленнях цих визначень також використовують [[натуральний логарифм]] і [[нат (одиниця вимірювання)|нат]].<ref>{{citation|title=Information Theory|first=Jan C. A.|last=Van der Lubbe|publisher=Cambridge University Press|year=1997|isbn=978-0-521-46760-5|page=3|url=https://books.google.com/books?id=tBuI_6MQTcwC&pg=PA3}}.</ref>

===Комбінаторика===
Хоча натуральний логарифм є більш важливим ніж двійковий логарифм для багатьох галузей чистої математики, таких як [[теорія чисел]] і [[математичний аналіз]],<ref>{{citation|title=Taming the Infinite|first=Ian|last=Stewart|publisher=Quercus|year=2015|isbn=9781623654733|quote=in advanced mathematics and science the only logarithm of importance is the natural logarithm|page=120|url=https://books.google.com/books?id=u4HPBAAAQBAJ&pg=PT120}}.</ref> двійковий логарифм має ряд застосувань в [[Комбінаторика|комбінаториці]]:
*Кожне [[двійкове дерево]] кожне {{mvar|n}} листя має висоту принаймні в {{math|log<sub>2</sub>''n''}}, і стає рівним цьому значенню, коли {{mvar|n}} є [[Степені 2| степенем двійки]], а саме дерево є [[Двійкове дерево#Повне (закінчене) двійкове дерево|повним двійковим деревом]].<ref>{{citation
 | last = Leiss | first = Ernst L.
 | isbn = 978-1-4200-1170-8
 | page = 28
 | publisher = CRC Press
 | title = A Programmer's Companion to Algorithm Analysis
 | url = https://books.google.com/books?id=E6BNGFQ6m_IC&pg=RA2-PA28
 | year = 2006}}.</ref> Відповідно, [[Strahler number|число Стрехлера]] річкової системи із {{mvar|n}} притоками буде щонайбільше дорівнювати {{math|log<sub>2</sub>''n'' + 1}}.<ref>{{citation
 | last1 = Devroye | first1 = L. | author1-link = Luc Devroye
 | last2 = Kruszewski | first2 = P.
 | issue = 5
 | journal = RAIRO Informatique Théorique et Applications
 | mr = 1435732
 | pages = 443–456
 | title = On the Horton–Strahler number for random tries
 | url = https://eudml.org/doc/92635
 | volume = 30
 | year = 1996}}.</ref>
*Кожне [[сімейство множин]] з {{mvar|n}} різними наборами має принаймні {{math|log<sub>2</sub>''n''}} елементів в купі, і буде рівністю коли це сімейство становить [[Булеан|булеан]].<ref>Equivalently, a family with {{mvar|k}} distinct elements has at most {{math|2<sup>''k''</sup>}} distinct sets, with equality when it is a power set.</ref>
*Кожен [[partial cube|частковий куб]] із {{mvar|n}} вершинами має ізометричну розмірність щонайменше в {{math|log<sub>2</sub>''n''}}, і має не більше ніж {{math|{{sfrac|1|2}} ''n'' log<sub>2</sub>''n''}} ребер, при чому рівність буде, якщо частковий куб є [[Граф гіперкубу|графом гіперкубу]].<ref>{{citation
 | last = Eppstein | first = David | authorlink = David Eppstein
 | arxiv = cs.DS/0402028
 | doi = 10.1016/j.ejc.2004.05.001
 | issue = 5
 | journal = European Journal of Combinatorics
 | mr = 2127682
 | pages = 585–592
 | title = The lattice dimension of a graph
 | volume = 26
 | year = 2005}}.</ref>
*Відповідно до [[Теорема Рамсея|Теореми Рамсея]], кожний [[Граф (математика)|неорієнтований граф]] з {{mvar|n}}-вершин має або [[Кліка (теорія графів)|кліку]] або [[Задача про незалежну множину|незалежну множину]] з розміром в логарифмічній залежності із {{mvar|n}}. Точний розмір гарантовано не відомий, але найкраща відома межа цього розміру застосовує двійковий логарифм. Зокрема, всі графи мають кліку або незалежну множину розміром принаймні в {{math|{{sfrac|1|2}} log<sub>2</sub>''n'' (1 − ''o''(1))}} і майже всі графи не мають кліки або незалежної множини більшого розміру ніж {{math|2 log<sub>2</sub>''n'' (1 + ''o''(1))}}.<ref>{{citation
 | last1 = Graham | first1 = Ronald L. | author1-link = Ronald Graham
 | last2 = Rothschild | first2 = Bruce L. | author2-link = Bruce Lee Rothschild
 | last3 = Spencer | first3 = Joel H. | author3-link = Joel Spencer
 | page = 78
 | publisher = Wiley-Interscience
 | title = Ramsey Theory
 | year = 1980}}.</ref>
*Із теорії математичного аналізу [[Gilbert–Shannon–Reeds model|модель Гільберта-Шеннона-Рідса]] для випадкового тасування кар, можна визначити число разів необхідних при тасуванні колоди з {{mvar|n}}-карт, використовуючи метод ''{{iw|riffle shuffle}}'', аби отримати кількість перестановок, що будуть близкі до рівномірного розподілу, і це значення приблизно дорівнює {{math|{{sfrac|3|2}} log<sub>2</sub>''n''}}. Цей підрахунок дав основу для рекомендації, що колода з 52-карт повинна перемішуватись сім разів.<ref>{{citation
 | last1 = Bayer | first1 = Dave | author1-link = Dave Bayer
 | last2 = Diaconis | first2 = Persi | author2-link = Persi Diaconis
 | issue = 2
 | journal = The Annals of Applied Probability
 | jstor = 2959752
 | mr = 1161056
 | pages = 294–313
 | title = Trailing the dovetail shuffle to its lair
 | volume = 2
 | year = 1992 | doi=10.1214/aoap/1177005705}}.</ref>

===Обчислювальна складність===
[[File:Binary search into array - example.svg|thumb|upright=1.2|[[Двійковий пошук]] в відсортованому масиві, часова складність алгоритму розраховується за допомогою двійкових логарифмів]]
Двійковий логарифм також часто фігурує в [[analysis of algorithms|аналізі алгоритмів]], не тільки через часте використання двійкової арифметики в алгоритмах, а й тому, що двійкові логарифми зустрічаються при аналізі алгоритмів, заснованих на двонаправлених розгалуженнях.<ref name="knuth">{{citation|title=[[The Art of Computer Programming]], Volume 1: Fundamental Algorithms|first=Donald E.|last=Knuth|authorlink=Дональд Кнут|edition=3rd|publisher=Addison-Wesley Professional|year=1997|isbn=978-0-321-63574-7}}, [https://books.google.com/books?id=x9AsAwAAQBAJ&pg=PA11 p.&nbsp;11].</ref> Якщо задача початково має {{mvar|n}} варіантів шляху вирішення, а кожна ітерація алгоритму зменшує кількість варіантів в два рази, тоді кількість ітерацій, необхідних аби завершити пошук на одному з варіантів знову таки є цілою частиною від {{math|log<sub>2</sub>''n''}}. Цей підхід використовується при аналізі багатьох [[Алгоритм|алгоритмів]] і [[Структура даних|структур даних]]. Наприклад, при [[Двійковий пошук|двійковому пошуку]], об’єм задачі, що розв’язується змешнується навпіл при кожній ітерації, і таким чином приблизно {{math|log<sub>2</sub>''n''}} ітерацій необхідно здійснити або отримати задачу розміром {{math|1}}, що означає, що задачу можна вирішити за скінченний передбачений час.<ref>{{citation |title=Algorithms and Data Structures: The Basic Toolbox|first1=Kurt|last1=Mehlhorn|author1-link=Kurt Mehlhorn|first2=Peter|last2=Sanders|author2-link=Peter Sanders (computer scientist)|publisher=Springer|year=2008|isbn=978-3-540-77977-3|pages=34–36|contribution=2.5 An example – binary search|url=http://people.mpi-inf.mpg.de/~mehlhorn/ftp/Toolbox/Introduction.pdf}}.</ref> Аналогічно, ідеально збалансоване [[Двійкове дерево пошуку|дерево двійкового пошуку]], яке містить {{mvar|n}} елементів має висоту {{math|log<sub>2</sub>(''n'' + 1) − 1}}.<ref>{{citation|title=Applied Combinatorics|first1=Fred|last1=Roberts|first2=Barry|last2=Tesman|edition=2nd|publisher=CRC Press|year=2009|isbn=978-1-4200-9983-6|page=206|url=https://books.google.com/books?id=szBLJUhmYOQC&pg=PA206}}.</ref>

Час роботи алгоритму зазвичай виражають в [[Нотація Ландау|нотації Ландау]] (велике О), яка використовується для спрощення виразів не указуючи постійних складових і членів нижчого порядку. Оскільки логарифми з різними основами відрізняються один від одного лише на сталу величину, про алгоритми, які виконуються за час {{math|''O''(log<sub>2</sub>''n'')}} також можна казати, що вони виконуються за {{math|''O''(log<sub>13</sub> ''n'')}} часу. Основу логарифму в виразах такого вигляду як {{math|''O''(log ''n'')}} або {{math|''O''(''n'' log ''n'')}} можна не вказувати.<ref name="clrs">{{citation
| last1 = Cormen
| first1 = Thomas H.
| author1-link=Thomas H. Cormen
| last2= Leiserson
| first2= Charles E.
| author2-link=Charles E. Leiserson
| last3= Rivest
| first3= Ronald L.
| author3-link=Ron Rivest
| last4= Stein
| first4= Clifford
| author4-link=  Clifford Stein
| title = [[Introduction to Algorithms]]
| year = 2001
| edition = 2nd
| publisher = MIT Press and McGraw-Hill
| isbn = 0-262-03293-7
| pages=34, 53–54}}.</ref><ref>{{citation|title=Introduction to the Theory of Computation|first=Michael|last=Sipser|authorlink=Michael Sipser|edition=3rd|publisher=Cengage Learning|year=2012|isbn=9781133187790|contribution=Example 7.4|url=https://books.google.com/books?id=P3f6CAAAQBAJ&pg=PA277|pages=277–278}}.</ref> Однак, якщо логарифм вказується в показнику степеня при розрахунку часу, основою логарифму не можна нехтувати і треба вказувати. Наприклад, {{math|''O''(2<sup>log<sub>2</sub>''n''</sup>)}} не те саме, що {{math|''O''(2<sup>ln ''n''</sup>)}} оскільки останнє буде дорівнювати {{math|''O''(''n'')}} а перший вираз - {{math|''O''(''n''<sup>0.6931...</sup>)}}.

Алгоритми з часом виконання {{math|''O''(''n''&nbsp;log&nbsp;''n'')}} іноді називають [[linearithmic|лінійно-логарифмічними]].<ref>{{harvtxt|Sedgewick|Wayne|2011}}, [https://books.google.com/books?id=MTpsAQAAQBAJ&pg=PA186 p.&nbsp;186].</ref> Прикладами алгоритмів із часом виконання {{math|''O''(log ''n'')}} або {{math|''O''(''n'' log ''n'')}} є:

*[[Швидке сортування]] і інші алгоритми [[сортування порівняннями]]<ref>Cormen et al., p.&nbsp;156; Goodrich & Tamassia, p.&nbsp;238.</ref>
*Пошук в збалансованому [[Двійкове дерево пошуку|двійковому дереві пошуку]]<ref>Cormen et al., p.&nbsp;276; Goodrich & Tamassia, p.&nbsp;159.</ref>
*[[Швидке піднесення до степеня]]<ref>Cormen et al., pp.&nbsp;879–880; Goodrich & Tamassia, p.&nbsp;464.</ref>
*[[Longest increasing subsequence|Задача пошуку найбільшої зростаючої підпослідовності]]<ref>{{citation|title=How to Think About Algorithms|first=Jeff|last=Edmonds|publisher=Cambridge University Press|year=2008|isbn=978-1-139-47175-6|page=302|url=https://books.google.com/books?id=hGuixQMQS_0C&pg=PT280}}.</ref>

===Теорія музики===
В [[Теорія музики|теорії музики]], [[Музичний інтервал|інтервал]] або різниця сприйняття між двома тонами визначається відношенням їх частот. Інтервали, що утворені за допомогою співвідношення [[Раціональні числа|раціональних чисел]] із малими чисельниками і знаменниками сприймаються особливо милозвучно. Найпростішим і найважливішим із таких інтервалів є [[октава]], що має співвідношення частот {{math|2:1}}. Кількість октав, на які відрізняються звукові тони дорівнюють двійковому логарифму від співвідношення їх частот.<ref name="mga">{{citation|title=The Musician's Guide to Acoustics|first1=Murray|last1=Campbell|first2=Clive|last2=Greated|publisher=Oxford University Press|year=1994|isbn=978-0-19-159167-9|page=78|url=https://books.google.com/books?id=iiCZwwFG0x0C&pg=PA78}}.</ref>

При вивченні [[Музичний стрій|музичного строю]] і інших аспектів музичної теорії, які потребують кращого розрізнення між тонами, ж зручним мати міру розміру інтервалу меншу за октаву із властивістю адитивності (чим є логарифми), а не мультиплікативності (яким є співвідношення частот). Таким чином, якщо тони {{mvar|x}}, {{mvar|y}}, і {{mvar|z}} утворюють зростаючу послідовність тонів, то міра інтервалу від {{mvar|x}} до {{mvar|y}} плюс міра інтервалу від {{mvar|y}} до {{mvar|z}} повинні дорівнювати мірі інтервалу від {{mvar|x}} до {{mvar|z}}. Така міра задається за допомогою [[Цент (музика)|центу]], який поділяє октаву на {{math|1200}} рівних інтервалів ({{math|12}} [[Півтон|півтонів]], що містять {{math|100}} центів кожен). Математично, якщо дані тони із частотами {{math|''f''<sub>1</sub>}} і {{math|''f''<sub>2</sub>}}, кількість центів в інтервалі від {{math|''f''<sub>1</sub>}} до {{math|''f''<sub>2</sub>}} становитиме <ref name="mga"/>
:<math>\left|1200\log_2\frac{f_1}{f_2}\right|.</math>

[[millioctave|Міліоктава]] визначається тим самим способом, але матиме множник {{math|1000}} замість {{math|1200}}.<ref>{{citation|title=The Harvard Dictionary of Music|edition=4th|editor-first=Don Michael|editor-last=Randel|editor-link=Don Michael Randel|publisher=The Belknap Press of Harvard University Press|year=2003|isbn=978-0-674-01163-2|page=416|url=https://books.google.com/books?id=02rFSecPhEsC&pg=PA416}}.</ref>

===Фотографія===
У [[Фотографія|фотографії]], [[exposure value|значення експозиції]] вимірюється як двійковий логарифм від кількості світла, яке досягає плівки або сенсору зображення, у відповідності до [[Закон Вебера — Фехнера|закону Вебера-Фехнера]], який описує логарифмічний характер сприйняття світла зоровою системою людини. Один крок зміни експозиції є однією одиницею логарифмічної шкали за основою-{{math|2}}.<ref>{{citation|title=The Manual of Photography|first1=Elizabeth|last1=Allen|first2=Sophie|last2=Triantaphillidou|publisher=Taylor & Francis|year=2011|isbn=978-0-240-52037-7|page=228|url=https://books.google.com/books?id=IfWivY3mIgAC&pg=PA228}}.</ref><ref name="btzs">{{citation|title=Beyond the Zone System|first=Phil|last=Davis|publisher=CRC Press|year=1998|isbn=978-1-136-09294-7|page=17|url=https://books.google.com/books?id=YaVEAQAAQBAJ&pg=PA17}}.</ref> Більш точно, значення експозиції фотографії визначається як
:<math>\log_2 \frac{N^2}{t}</math>
де {{mvar|N}} це [[Діафрагмове число|f-число діафрагми]], яке вимірює [[Апертура|апертуру]] лінзи під час експозиції, а {{mvar|t}} це тривалість експозиції в секундах.<ref>{{harvtxt|Allen|Triantaphillidou|2011}},  [https://books.google.com/books?id=IfWivY3mIgAC&pg=PA235 p.&nbsp;235].</ref>

Двійкові логарифми також використовуються в [[densitometry|денситометрії]], щоб оцінити [[динамічний діапазон]] світлочутливого матеріалу або цифрового сенсора.<ref>{{citation|title=Visual Effects Society Handbook: Workflow and Techniques|first1=Susan|last1=Zwerman|first2=Jeffrey A.|last2=Okun|publisher=CRC Press|year=2012|isbn=978-1-136-13614-6|page=205|url=https://books.google.com/books?id=3rLpAwAAQBAJ&pg=PA205}}.</ref>

==Обчислення==
[[File:SR-50 early TI calculator.agr.jpg|thumb|upright=0.75|Інженерний калькулятор [[TI SR-50]] (1974). Кнопки ln і log знаходяться в другому рядку; немає кнопки log<sub>2</sub>.]]

===Перетворення із інших основ===
Простим способом розрахувати значення {{math|log<sub>2</sub>''n''}} на [[Калькулятор|калькуляторі]], який не має функції {{math|log<sub>2</sub>}}, це використати [[Натуральний логарифм|натуральний логарифм]] ({{math|ln}}), [[Логарифм|звичайний логарифм]] ({{math|log}} або {{math|log<sub>10</sub>}}), які можна знайти в багатьох [[scientific calculator|інженерних калькуляторах]]. Для цього існує [[формула]] [[Логарифм#Change of base|зміна основи логарифму]]:<ref name="btzs"/><ref>{{citation|title=Secret History: The Story of Cryptology|first=Craig P.|last=Bauer|publisher=CRC Press|year=2013|isbn=978-1-4665-6186-1|page=332|url=https://books.google.com/books?id=EBkEGAOlCDsC&pg=PA332}}.</ref>

:<math>\log_2 n = \frac{\ln n}{\ln 2} = \frac{\log_{10} n}{\log_{10} 2},</math>
або наближено
:<math>\log_2 n \approx 1.442695\ln n \approx 3.321928\log_{10} n.</math>

==Примітки==
{{reflist|30em}}

==Посилання==
*{{mathworld|id=BinaryLogarithm|title=Binary Logarithm}}
*{{citation|url=http://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html#IntegerLog|title=Find the log base 2 of an N-bit integer in O(lg(N)) operations|work=Bit Twiddling Hacks|first=Sean Eron|last=Anderson|publisher=Stanford University|date=December 12, 2003|accessdate=2015-11-25}}
*[http://longnow.org/essays/richard-feynman-and-connection-machine/ Feynman and the Connection Machine]

[[Категорія:Двійкова арифметика]]
[[Категорія:Числення]]
[[Категорія:Логарифми]]