Перегляд вихідного коду сторінки Еліптичні функції Вейєрштрасса

'''Еліптичні функції Вейєрштрасса'''&nbsp;— одні з найпростіших [[еліптичні функції|еліптичних функцій]]. Цей клас функцій названий на честь [[Карл Вейєрштрасс|Карла Вейєрштрасса]]. Також їх називають <math>\wp</math>-функціями Вейєрштрасса, і використовують для їх позначення символ <math>\wp</math> (стилізоване ''P'').

== Визначення ==

Нехай задана деяка ґратка <math>\Gamma</math> в <math>\Complex</math>. Тоді '''<math>\wp</math>-функцією Вейєрштрасса''' на ній називається мероморфна функція, задана як сума ряду
: <math>
\wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \sum_{w\in\Gamma\setminus\{0\}} \left(\frac{1}{(z-w)^2} - \frac{1}{w^2} \right).
</math>

Можна побачити, що така функція буде <math>\Gamma</math>-періодичною на <math>\Complex</math>, і тому є [[мероморфна функція|мероморфною]] функцією на <math>E</math>.

Ряд, що задає функцію Вейерштрасса є, в певному значенні, «регуляризованою версією» розбіжного ряду, <math>\sum_{w\in\Gamma} \frac{1}{(z-w)^2}</math> — «наївної» спроби задати <math>\Gamma</math>-періодичну функцію. Цей ряд є абсолютно розбіжним (а за відсутності природного порядку на <math>\Gamma</math> має сенс говорити тільки про абсолютну збіжність) при всіх z, оскільки при фіксованому z і при великих w модулі його членів поводяться як <math>\frac{1}{|w|^2}</math>, а сума <math>\sum_{w\in\Gamma} \frac{1}{|w|^2}</math> по ''двовимірних'' ґратках <math>\Gamma</math> є розбіжною.

=== Варіанти визначення ===

Задаючи ґратку <math>\Gamma</math> її базисом <math>\Gamma=\{m \omega_1 + n \omega_2 \mid m,n\in \Z\}</math>, можна записати

: <math>
\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2} + \sum_{(m,n)\in\Z^2\setminus\{(0,0)\}} \left(\frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2} - \frac{1}{(m\omega_1+n\omega_2)^2} \right).
</math>

Також, оскільки функція Вейерштрасса як функція трьох змінних однорідна <math>\wp(az;a\omega_1,a\omega_2)=a^{-2}wp(z;\omega_1,\omega_2)</math>, позначивши <math>\tau=\omega_2/\omega_1</math>, має місце рівність:

: <math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\omega_1^{-2} \wp(z/\omega_1;1,\tau).</math>

Тому розглядають
: <math>
\wp(z;\tau)=\wp(z;1,\tau)=\frac{1}{z^2} + \sum_{(m,n)\in\Z^2\setminus\{(0,0)\}} \left(\frac{1}{(z-m-n\tau)^2} - \frac{1}{(m+n\tau)^2} \right).
</math>

== Властивості ==
* Функція Вейєрштрасса <math>\wp_E:E\mapsto \widehat{\Complex}</math> — [[парна функція|парна]] мероморфна функція, з єдиним [[Полюс (комплексний аналіз)|полюсом]] другого порядку в точці 0.
* Скориставшись розкладом <math>\frac{1}{(w-z)^2}=\frac{1}{w^2} +\sum\nolimits_{j=1}^{\infty} \frac{j+1}{w^{j+2}} z^j</math> і посумувавши по <math>w\in \Gamma\setminus \{0\}</math>, можна одержати розклад в точці <math>z=0</math> функції Вейєрштрасса в [[ряд Лорана]]:
<math>
\wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \sum_{k=2}^{\infty} (2k+1) G_{2k}(\Gamma) z^{2k-2},
</math>
де <math>G_{2k}(\Gamma)=\sum_{w\in\Gamma\setminus \{0\}} w^{-2k}</math>&nbsp; — [[ряди Ейзенштейна]] для ґратки&nbsp;<math>\Gamma</math> (відповідні непарні суми рівні нулю).

Проте, коефіцієнти при <math>z^2</math> і <math>z^4</math> часто записують в іншій, традиційній формі:
: <math>
\wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \frac{1}{20}g_2(\Gamma) z^2 + \frac{1}{28}g_3(\Gamma) z^4 + \dots,
</math>
де <math>g_2</math> і <math>g_3</math> — [[модулярний інваріант|модулярні інваріанти]] ґратки <math>\Gamma</math>:
:<math>
g_2(\Gamma)=60G_4(\Gamma), \quad g_3(\Gamma)=140G_6(\Gamma).
</math>

== Диференціальні і інтегральні рівняння ==
===Диференціальні рівняння===
З визначеними раніше позначеннями,  &#8472; функція задовольняє наступне [[диференціальне рівняння]]:
:<math>
[\wp'(z)]^2=4[\wp(z)]^3-g_2\wp(z)-g_3,</math>.

===Інтегральні рівняння===
Еліптичні функції Вейєрштрасса можуть бути подані через обертання [[еліптичний інтеграл|еліптичних інтегралів]]. Нехай 

:<math>u = \int_y^\infty \frac {ds} {\sqrt{4s^3 - g_2s -g_3}}.</math>

де ''g''<sub>2</sub> і ''g''<sub>3</sub> приймаються константами. Тоді

:<math>y=\wp(u).</math>

==Додаткові властивості==

Для еліптичних функцій Вейєрштрасса виконується:

:<math>
\det\begin{bmatrix}
\wp(z) & \wp'(z) & 1\\
\wp(y) & \wp'(y) & 1\\
\wp(z+y) & -\wp'(z+y) & 1
\end{bmatrix}=0</math>

(або в більш симетричній формі
:<math>
\det\begin{bmatrix}
\wp(u) & \wp'(u) & 1\\
\wp(v) & \wp'(v) & 1\\
\wp(w) & \wp'(w) & 1
\end{bmatrix}=0</math>
де <math>u+v+w=0</math>).

Також
:<math>
\wp(z+y)=\frac{1}{4}
\left\{
\frac{\wp'(z)-\wp'(y)}{\wp(z)-\wp(y)}
\right\}^2
-\wp(z)-\wp(y).</math>

і
:<math>
\wp(2z)=
\frac{1}{4}\left\{
\frac{\wp''(z)}{\wp'(z)}\right\}^2-2\wp(z),</math>
якщо <math>2z</math> не є періодом.

== Вираження довільних еліптичних функцій через функції Вейєрштрасса ==

Будь-яка [[еліптична функція]] з періодами <math>a</math> і <math>b</math> може бути представлена у вигляді 
<math>f(z)=h(\wp (z))+g(\wp (z)){\wp}'(z)</math>
де ''h'', ''g'' — [[раціональна функція|раціональні функції]], <math>\wp(z)</math> — функція Вейєрштрасса з тими ж періодами що і у <math>f(z)</math>. Якщо при цьому <math>f(z)</math> є [[парна функція|парною функцією]], то її можна представити у вигляді <math>f(z)=h(\wp (z))</math>, де h раціональна. Іншими словами [[поле (алгебра)|поле]] еліптичних функцій з фундаментальними періодами <math>a</math> і <math>b</math> є [[скінченне розширення|скінченним розширенням]] поля <math>\Complex</math> [[комплексне число|комплексних чисел]], з породжуючими елементами <math>\wp (z)</math> і <math>{\wp}'(z)</math>.

== Див. також ==

* [[Еліптична функція]]
* [[Еліптична крива]]
* [[Еліптичні функції Якобі]]
* [[Ряди Ейзенштейна]]

== Література ==
# K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
# Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6

[[Категорія:Аналітична теорія чисел]]
[[Категорія:Еліптичні функції]]
[[Категорія:Спеціальні функції]]