Перегляд вихідного коду сторінки Матриця (математика)

'''Ма́триця'''&nbsp;— [[математичний об'єкт]], записаний у вигляді прямокутної таблиці чисел (чи елементів [[кільце (алгебра)|кільця]]), він допускає операції ([[додавання]], [[віднімання]], [[множення]] та [[множення на скаляр]]). Зазвичай матриці представляються двовимірними (прямокутними) таблицями. Іноді розглядають багатовимірні матриці або матриці непрямокутної форми. В цій статті вони розглядатися не будуть.

Матриці є корисними для запису даних, що залежать від двох категорій, наприклад: для коефіцієнтів [[системи лінійних рівнянь|систем лінійних рівнянь]] та [[лінійний оператор|лінійних перетворень]].

== Означення та нотація ==
'''Матрицею''' розміру <math>m \times n</math> (''m''-на-''n'',або ''mn''-матрицею) називається множина з <math>mn</math> елементів <math>a_{i,j}</math> , розміщених у вигляді прямокутної таблиці з <math>m</math> рядків і <math>n</math> стовпців, а <math>m</math> і <math>n</math> — її розмірністю:

:<math> \mathbf{A} = 
 \begin{bmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
 \end{bmatrix}.
</math>
де <math>a_{i,j}</math> – елемент матриці; <math>i</math> – номер рядка; <math>j</math> – номер стовпця.
:при альтернативному позначенні використовуються великі круглі дужки:
:<math> \mathbf{A} = 
 \left( \begin{array}{rrrr}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
 \end{array} \right).
</math>
*Горизонтальні лінії в матриці звуть '''рядками''', вертикальні — '''стовпцями'''.
*Елемент матриці ''A'', що знаходиться на перетині ''i''-го рядка з ''j''-им стовпчиком, називають ''i,j''-им елементом або (''i'',''j'')-им елементом ''A''.

Записують це як ''<math>a_{i,j}</math>'' чи <tt>a[i,j]</tt>, або, в нотації [[мова програмування C|мови програмування C]], <code>A[i][j]</code>.

Часто пишуть <math>\ A:=(a_{i,j})_{n \times m}</math> для означення матриці ''A'' розмірності ''n'' x ''m'', де кожен елемент матриці ''A''[i,j] позначають як ''a<sub>ij</sub>'' для всіх 1 ≤ ''i'' ≤ ''n'' та 1 ≤ ''j'' ≤ ''m''.

=== Приклад ===

Матриця
<math>\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 7 \\
4 & 9 & 2 \\
6 & 2 & 5 \end{bmatrix}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; є матрицею 4×3. Елемент ''A''[2,3], або <math>a_{2,3}</math> дорівнює 7.

===Розмір===
Розмір матриці визначає кількість рядків і стовпців, які вона містить. Матрицю із ''m'' рядками і ''n'' стовпцями називають матрицею ''m''&nbsp;×&nbsp;''n'' або ''m''-на-''n'' матрицею, а самі ''m'' і ''n'' називають розмірами матриці.

Матриці, які мають лише один рядок називаються ''векторами-рядками'', а ті що мають один стовпець називаються ''векторами-стовпцями''. Матриця з однаковою кількістю рядків і стовпців називається ''[[Квадратна матриця|квадратною матрицею]]''. Матриця із нескінченною кількістю рядків або стовпців (або їх обох) називаєтьсяn ''нескінченною матрицею''. У деякому контексті, наприклад, в комп'ютерних програмах, іноді зручно розглядати таку матрицю, що не містить рядків або стовпців, що називається ''порожньою матрицею''.

{| class="wikitable"
|-
! Назва !! Розмір !! Приклад !! Визначення 
|-
| Вектор-рядок || 1&nbsp;×&nbsp;''n'' || style="text-align:center;" | <math>\begin{bmatrix}3 & 7 & 2 \end{bmatrix}</math>
| Матриця з одним рядком, іноді використовується для представлення вектора 
|-
| Вектор-стовпець || ''n''&nbsp;×&nbsp;1 || style="text-align:center;" | <math>\begin{bmatrix}4 \\ 1 \\ 8 \end{bmatrix}</math>
| Матриця з одним стовпцем, іноді використовується для представлення вектора
|-
| [[Квадратна матриця]] || ''n''&nbsp;×&nbsp;''n'' || style="text-align:center;" | <math>\begin{bmatrix}
  9 & 13 & 5 \\
  1 & 11 & 7 \\
  2 & 6  & 3
  \end{bmatrix}</math>
| Матриця з однаковою кількістю рядків і стовпців, іноді використовується для представлення лінійних перетворень у векторному просторі, такі як обертання, відбиття і скіс.
|}

== Дії над матрицями ==

=== Операція порівняння ===
Дві матриці <math>\ A=(a_{i,j})_{m \times n}</math> та <math>\ B=(b_{i,j})_{m \times n}</math> називаються рівними <math> A=B </math>, якщо рівні їх відповідні елементи, тобто <math> a_{i,j}=b_{i,j} </math>.

=== Додавання ===
Якщо дано дві матриці ''m''-на-''n'' ''A'' і ''B'', можемо визначити їх '''суму''' ''A + B'' як матрицю ''m''-на-''n'', що утворюється додаванням відповідних елементів, тобто, <br />
(''A + B'')[''i, j''] = ''A''[''i, j''] + ''B''[''i, j'']. Наприклад,
:<math>
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 2 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 5 \\
    7 & 5 & 0 \\
    2 & 1 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 & 2+5 \\
    1+7 & 0+5 & 0+0 \\
    1+2 & 2+1 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 7 \\
    8 & 5 & 0 \\
    3 & 3 & 3
  \end{bmatrix}
</math>
:Основні властивості операцій додавання матриць:
:* A + B = B + A (комутативність).
:* A + (B + C) = (A + B) + C (асоціативність).
:* A + 0 = A, при будь-якій матриці. Для будь-якої матриці A існує протилежна матриця (-A) , така, що A + (-A) = 0.

=== Множення на скаляр ===
Якщо дано матрицю ''A'' і число ''c'', можемо означити '''множення на скаляр''' ''cA'' як 
(''cA'')[''i'', ''j''] = ''cA''[''i'', ''j''].
Наприклад,

:<math>2
  \begin{bmatrix}
    1 & 8 & -3 \\
    4 & -2 & 5
  \end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
    2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\
    2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5
  \end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
    2 & 16 & -6 \\
    8 & -4 & 10
  \end{bmatrix}
</math>

З цими двома операціями множина M(''m'', ''n'', '''R''') усіх матриць ''m''-на-''n'' з дійсними елементами є дійсним [[векторний простір|векторним простором]] розмірності <var>m</var><var>n</var>.

=== Множення матриць ===
{{Докладніше|Множення матриць}}
[[File:Matrix multiplication diagram 2.svg|right|200px|thumb|Схематичне зображення добутку '''AB''' двох матриць '''A''' і '''B'''.]]
Множення двох матриць має сенс лише тоді, коли число стовпчиків першої матриці дорівнює числу рядків другої матриці. Якщо ''A'' — матриця ''m''-на-''n'' (''m'' рядків, ''n'' стовпчиків), а ''B'' — матриця ''n''-на-''p'' (''n'' рядків, ''p'' стовпчиків), їх '''добуток''' ''AB'' є матрицею ''m''-на-''p'' (''m'' рядків, ''p'' стовпчиків), що розраховується за формулою: 

:(''AB'')[''i'', ''j''] = ''A''[''i'', 1] * ''B''[1, ''j''] + ''A''[''i'', 2] * ''B''[2, ''j''] + ... + ''A''[''i'', ''n''] * ''B''[''n'', ''j''] для кожної пари ''i'' та ''j''. 
Наприклад,
:<math>
  \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 2 \\
    -1 & 3 & 1 \\
  \end{bmatrix}
\times
  \begin{bmatrix}
    3 & 1 \\
    2 & 1 \\
    1 & 0
  \end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
     (1 \times 3  +  0 \times 2  +  2 \times 1) & (1 \times 1   +   0 \times 1   +   2 \times 0) \\
    (-1 \times 3  +  3 \times 2  +  1 \times 1) & (-1 \times 1   +   3 \times 1   +   1 \times 0) \\
  \end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
    5 & 1 \\
    4 & 2 \\
  \end{bmatrix}
</math>

Це множення має такі властивості:
* (<var>AB</var>)''C'' = ''A''(<var>B</var><var>C</var>) для всіх матриць ''A'' розмірності ''k''-на-''m'', ''B'' розмірності ''m''-на-''n'' і ''C'' розмірності ''n''-на-''p'' ([[асоціативність]]).
* (''A + B'')''C'' = ''AC'' + ''BC'' для всіх матриць ''A'' і ''B'' розмірності ''m''-на-''n'' і матриць ''C'' розмірності ''n''-на-''k'' ([[дистрибутивність]]).
* ''C''(''A + B'') = ''CA'' + ''CB'' для всіх матриць ''A'' і ''B'' розмірності ''m''-на-''n'' і матриць ''C'' розмірності ''k''-на-''m'' (дистрибутивність).

''Зауваження'': [[комутативність]] має місце не завжди: для добутку певних матриць ''A'' і ''B'' може бути AB ≠ BA.

Матриці називають ''антикомутативними'', якщо AB = −BA. Такі матриці є дуже важливими в {{нп|представлення алгебр|представленнях||Algebra representation}} [[алгебри Лі|алгебр Лі]] та в представленнях [[алгебри Кліффорда|алгебр Кліффорда]].

===[[Транспонована матриця|Транспонування]]===
''Транспонування'' матриці '''A''' розміром ''m''-на-''n'' утворює матрицю ''n''-на-''m'' '''A'''<sup>T</sup> (що також позначається як '''A'''<sup>tr</sup> або <sup>t</sup>'''A'''), яка є результатом перевертання рядків у стовпці і навпаки:
:{{nowrap begin}}('''A'''<sup>T</sup>)<sub>''i'',''j''</sub> = '''A'''<sub>''j'',''i''</sub>.{{nowrap end}}
Приклад:
<math>
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -6 & 7
\end{bmatrix}^\mathrm{T} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
2 & -6 \\
3 & 7
\end{bmatrix}
</math>

== Лінійні перетворення, ранг і транспонування ==
* Матриці можуть представляти [[лінійні перетворення]], оскільки множення матриць відповідає [[композиція відображень|композиції відображень]], як це буде показано далі.

Надалі ототожнюватимемо елементи '''R'''<sup>''n''</sup> з [[множина|множиною]] рядків або матриць ''n''-на-1.
Для кожного [[лінійне відображення|лінійного відображення]] ''f'' : '''R'''<sup>''n''</sup> <tt>-></tt> '''R'''<sup>''m''</sup> існує єдина матриця ''A'' розмірності ''m''-на-''n'' така, що ''f''(''x'') = <var>A</var><var>x</var> для всіх ''x'' з '''R'''<sup>''n''</sup>.
Кажемо, що матриця ''A'' «представляє» лінійне відображення ''f''.
Тепер, якщо матриця ''B'' розмірності ''k''-на-''m'' представляє інше лінійне відображення ''g'' : '''R'''<sup>''m''</sup> <tt>-></tt> '''R'''<sup>''k''</sup>, лінійне відображення ''g'' o ''f'' представлене матрицею <var>B</var><var>A</var>. Це випливає з зазначеної вище властивості асоціативності множення матриць.

* [[Ранг матриці]] ''A''&nbsp;— це розмірність [[образ відображення|образа]] лінійного відображення, представленого матрицею ''A''. Вона збігається з [[розмірність простору|розмірністю простору]], згенерованого рядками матриці ''A'', а також із розміром простору, згенерованого стовпчиками матриці ''A''.

* [[Транспонована матриця|Транспонованою матрицею]] матриці ''A'' розмірності ''m''-на-''n'' є матриця ''A''<sup>tr</sup> (також іноді позначають як ''A''<sup>T</sup> або <sup>t</sup>''A'') розмірності ''n''-на-''m'', яку одержують заміною рядків стовпчиками і навпаки, себто ''A''<sup>tr</sup>[''i'', ''j''] = ''A''[''j'', ''i''] для всіх індексів ''i'' та ''j''. Якщо ''A'' описує лінійне відображення відносно двох [[Базис (математика)|базисів]], матриця ''A'' <sup>tr</sup> описує [[транспозиція (математика)|транспозицію]] лінійного відображення відносно [[Дуальний базис|дуальних базисів]], див. [[дуальний простір]].

Маємо (''A + B'')<sup>tr</sup> = ''A''<sup>tr</sup> + ''B''<sup>tr</sup> і (''AB'')<sup>tr</sup> = ''B''<sup>tr</sup> * ''A''<sup>tr</sup>.

== Спеціальні види матриць ==
{{main|Перелік матриць}}
У багатьох розділах математики з'являються матриці певної структури. Декілька важливих прикладів:
* [[Квадратна матриця]]
* [[Одинична матриця]]
* [[Симетрична матриця]]&nbsp;— матриця, симетричні елементи яких відносно [[головна діагональ|головної діагоналі]] (від верхнього лівого до нижнього правого кута) є рівними, себто,
: a<sub>i,j</sub> = a<sub>j,i</sub>.
* [[Нормальна матриця]]
* [[Ідеальна матриця]]
* [[Унітарна матриця]]
* [[Ермітова матриця]] (або самоспряжена)&nbsp;— матриця, симетричні елементи яких відносно головної діагоналі є [[комплексне-спряження|комплексно-спряженими]] один до одного, себто,
: a<sub>i,j</sub>=a<sup>*</sup><sub>j,i</sub>.
* [[Стохастичні матриці]]&nbsp;— квадратні матриці, стовпчики яких є {{нп|Вектор імовірності|векторами ймовірності||Probability vector}}; вони застосовуються для означення [[ланцюги Маркова|Марківських ланцюгів]].

==Лінійні рівняння==
{{Main|Система лінійних алгебраїчних рівнянь}}
Матриці використовують для компактного представлення систем лінійних рівнянь і роботи з ними. Наприклад, якщо '''A''' є матрицею ''m''-на-''n'', '''x''' позначає вектор стовпець (що є матрицею ''n''×1) ''n'' змінних ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>, і '''b''' є вектором-стовпцем ''m''×1, тоді матричне рівняння
:<math>\mathbf{Ax} = \mathbf{b}</math>
є еквівалентним наступній системі лінійних рівнянь:
:<math> A_{1,1}x_1 + A_{1,2}x_2 + \cdots + A_{1,n}x_n = b_1 </math>
:<math> \vdots </math>
:<math> A_{m,1}x_1 + A_{m,2}x_2 + \cdots + A_{m,n}x_n = b_m </math><ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=I.2.21 and 22 }}</ref>

Із використанням матриць, це можна розв'язати у більш компактній формі ніж виписувати всі ці рівняння окремо. Якщо ''n'' = ''m'' а рівняння є незалежними, це можливо зробити записавши

:<math> \mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{b} </math>

де '''A'''<sup>−1</sup> є [[Обернена матриця|оберненою матрицею]] для '''A'''. Якщо '''A''' не має оберненої матриці, розв'язок, якщо такий існує можна знайти за допомогою [Псевдообернена матриця|псевдооберненої матриці]].

==Лінійні перетворення==
{{Main|Лінійне відображення|Матриця переходу}}
[[File:Area parallellogram as determinant.svg|thumb|right|Вектор заданий 2-на-2 матрицею відповідає сторонам одиничного квадрату, що перетворено на паралелограм.]]

Матриці і операція множення матриць розкривають свої важливі властивості при застосуванні для ''лінійних перетворень'', що також називають ''лінійними відображеннями''. <span id="linear_maps">Дійсна ''m''-на-''n'' матриця '''A''' задає лінійне перетворення '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup> і відображає кожен вектор '''x''' у '''R'''<sup>''n''</sup> у матричний добуток '''Ax''', що в свою чергу є вектором у '''R'''<sup>''m''</sup>. Відповідно, кожне лінійне перетворення ''f'': '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup> може здаватися унікальною ''m''-на-''n'' матрицею '''A''': більш детально, {{nowrap|(''i'', ''j'')-входження}} із '''A''' є ''i''<sup>ю</sup> координатою ''f''('''e'''<sub>''j''</sub>), де {{nowrap begin}}'''e'''<sub>''j''</sub> = (0,...,0,1,0,...,0){{nowrap end}} є одиничним вектором із значенням 1 у ''j''<sup>ій</sup> позиції і 0 в інших позиціях.</span> Говорять, що матриця '''A''' задає лінійне відображення ''f'', і '''A''' називається ''матрицею перетворення'' для ''f''.

Наприклад, матрицю 2×2

:<math>
\mathbf A = \begin{bmatrix} a & c\\b & d \end{bmatrix}\,
</math>

можна розглядати як перетворення одиничного квадрату у [[паралелограм]] із вершинами у {{nowrap|(0, 0)}}, {{nowrap|(''a'', ''b'')}}, {{nowrap|(''a'' + ''c'', ''b'' + ''d'')}}, і {{nowrap|(''c'', ''d'')}}. Паралелограм зображений праворуч отримано за допомогою множення '''A''' на кожний вектор-стовпець <math>\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} </math> і <math>\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}</math> по черзі. Ці вектори задають вершини одиничного квадрату.

Наступна таблиця показує декілька 2-на-2 матриць із відповідними лінійними відображеннями у '''R'''<sup>2</sup>. Початкова синя фігура відображається у зелену сітку і фігуру. Початок координат (0,0) відмічено чорною точкою.
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
| Горизонтальний скіс при m=1.25.
| [[Відбиття (геометрія)|Відбиття]] відносно вертикальної осі
| Відображення стиснення при r=3/2
| Масштабування на коефіцієнт 3/2
|<span id="rotation_matrix">[[Матриця повороту|Поворот]] на кут π/6<sup>R</sup> = 30°</span>
|-
| <math>\begin{bmatrix}
1 & 1.25  \\
0 & 1 \end{bmatrix}</math>
| <math>\begin{bmatrix}
-1 & 0  \\
0 & 1 \end{bmatrix}</math>
| <math>\begin{bmatrix}
3/2 & 0  \\
0 & 2/3 \end{bmatrix}</math>
|<math>\begin{bmatrix}
3/2 & 0  \\
0 & 3/2 \end{bmatrix}</math>
|<math>\begin{bmatrix}\cos(\pi / 6^{R}) & -\sin(\pi / 6^{R})\\ \sin(\pi / 6^{R}) & \cos(\pi / 6^{R})\end{bmatrix}</math>
|-
| width="20%" | [[File:VerticalShear m=1.25.svg|175px]]
| width="20%" | [[File:Flip map.svg|150px]]
| width="20%" | [[File:Squeeze r=1.5.svg|150px]]
| width="20%" | [[File:Scaling by 1.5.svg|125px]]
| width="20%" | [[File:Rotation by pi over 6.svg|125px]]
|}

==Квадратна матриця==
{{Main|Квадратна матриця}}
[[Квадратна матриця]] це матриця із однаковою кількістю рядків і стовпців. Матриця ''n''-на-''n'' є квадратною матрицею порядку ''n.'' Будь-які дві квадратні матриці однакового порядку можна додавати і множити. 
Входження ''a''<sub>''ii''</sub> утворюють [[Головна діагональ|головну діагональ]] квадратної матриці. Вони знаходяться на уявній лінії, яка проходить від верхнього лівого кута до нижнього правого кута матриці.

=== Основні типи ===
:{| class="wikitable" style="float:right; margin:0ex 0ex 2ex 2ex;"
|-
! Назва !! Приклад для ''n'' = 3
|-
| [[Діагональна матриця]] || style="text-align:center;" | <math>
      \begin{bmatrix}
           a_{11} & 0 & 0 \\
           0 & a_{22} & 0 \\
           0 & 0 & a_{33} \\
      \end{bmatrix}
  </math>
|-
| [[Трикутна матриця|Нижньотрикутна матриця]] || style="text-align:center;" | <math>
      \begin{bmatrix}
           a_{11} & 0 & 0 \\
           a_{21} & a_{22} & 0 \\
           a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
      \end{bmatrix}
  </math>
|-
| [[Трикутна матриця|Верхньотрикутна матриця]] || style="text-align:center;" | <math>
      \begin{bmatrix}
           a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
           0 & a_{22} & a_{23} \\
           0 & 0 & a_{33} \\
      \end{bmatrix}
  </math>
|}

==== Діагональна і трикутна матриця ====
Якщо всі елементи матриці '''A''' нижче головної діагоналі дорівнюють нулю, '''A''' називають ''верхньотрикутною матрицею''. Аналогічно, якщо всі елементи ''A'' вище головної діагоналі дорівнюють нулю, '''A''' називають ''нижньотрикутною матрицею''. Якщо всі елементи матриці крім головної діагоналі є нулями , '''A''' називають [[Діагональна матриця]].

==== Одинична матриця ====
{{Main|Одинична матриця}}
''Одинична матриця'' '''I'''<sub>''n''</sub> розміром ''n'' є матрицею ''n''-на-''n'' в якій всі елементи головної діагоналі дорівнюють 1 а всі інші елементи дорівнюють 0, наприклад,
:<math>
I_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}
,\ 
I_2 = \begin{bmatrix}
         1 & 0 \\
         0 & 1 
      \end{bmatrix}
,\ \cdots ,\ 
I_n = \begin{bmatrix}
         1 & 0 & \cdots & 0 \\
         0 & 1 & \cdots & 0 \\
         \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
         0 & 0 & \cdots & 1
      \end{bmatrix}
</math>
Це квадратна матриця порядку ''n'', і також це є особливим випадком діагональної матриці. Вона називається діагональною матрицею, оскільки множення на неї залишає матрицю незмінною: 
:{{nowrap begin}}'''AI'''<sub>''n''</sub> = '''I'''<sub>''m''</sub>'''A''' = '''A'''{{nowrap end}} для будь-якої ''m''-на-''n'' матриці '''A'''.

====Симетричні або кососиметричні матриці====
Квадратна матриця '''A''' що дорівнює своїй транспонованій матриці, тобто, {{nowrap begin}}'''A''' = '''A'''<sup>T</sup>{{nowrap end}}, є [[Симетрична матриця|симетричною матрицею]]. Якщо замість того, '''A''' дорівнює негативній транспонованій матриці, тобто, {{nowrap begin}}'''A''' = −'''A'''<sup>T</sup>,{{nowrap end}} то '''A''' є [[Кососиметрична матриця|кососиметричною матрицею]]. У випадку комплексних матриць, поняття симетрії часто заміняється поняттям [[Ермітова матриця|Ермітової матриці]], що задовольняє умові '''A'''<sup>∗</sup> = '''A''', де зірочка позначає [[Ермітово-спряжена матриця|ермітове-спряження]] матриці, що є транспонованою [[Спряжені числа|комплексною спряженою]] матриці '''A'''.

Відповідно до [[Спектральна теорема|спектральної теореми]], дійсні симетричні матриці і комплексні Ермітові матриці мають [[Власний вектор|власний базис]]; такий що, кожен вектор можна задати у вигляді [[Лінійна комбінація|лінійної комбінації]] власних векторів. В обох випадках всі власні значення є дійсними.<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Theorem 2.5.6 }}</ref>

====Невироджена матриця і її обернена====
Квадратна матриця '''A''' називається ''[[Невироджена матриця|невиродженою]]'' або ''не-сингулярною'' якщо існує матриця '''B''', така що
: '''AB''' = '''BA''' = '''I'''<sub>''n''</sub> ,<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition I.2.28 }}</ref><ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition I.5.13 }}</ref>
де '''I'''<sub>''n''</sub> ''n''×''n'' є [[Одинична матриця|одиничною матрицею]] із 1-ями на [[Головна діагональ|головній діагоналі]] і 0-ми в інших місцях. Якщо '''B''' існує, вона є єдиною і називається  ''оберненою матрицею'' для '''A''', і позначається як '''A'''<sup>−1</sup>.

====Додатноозначена матриця====
{| class="wikitable" style="float:right; text-align:center; margin:0ex 0ex 2ex 2ex;"
|-
! [[Додатноозначена матриця]] !! Невизначена матриця
|-
| <math> \begin{bmatrix}
         1/4 & 0 \\
         0 & 1 \\
     \end{bmatrix} </math>
| <math> \begin{bmatrix}
         1/4 & 0 \\
         0 & -1/4 
     \end{bmatrix} </math>
|-
| ''Q''(''x'',''y'') = 1/4 ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> 
| ''Q''(''x'',''y'') = 1/4 ''x''<sup>2</sup> − 1/4 ''y''<sup>2</sup>
|-
| [[File:Ellipse in coordinate system with semi-axes labelled.svg|150px]] <br>Точки при яких ''Q''(''x'',''y'')=1 <br> ([[Еліпс]]).
| [[File:Hyperbola2 SVG.svg|150px]] <br> Точки при яких ''Q''(''x'',''y'')=1 <br> ([[Гіпербола (математика)|Гіпербола]]).
|}
Симетрична ''n''×''n''-матриця '''A''' називається [[Додатноозначена матриця|''додатноозначеною'']] якщо для всіх не нульових векторів '''x'''&nbsp;∈&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup> відповідна [[квадратична форма]], що задається як
:<span id="quadratic forms">''f''('''x''') = '''x'''<sup>T</sup>'''A&nbsp;x'''</span>
утворює в результаті лише додатні значення для будь-якого вхідного вектору '''x'''. Якщо ''f''('''x''') приводить до утворення лише від'ємних значень тоді '''A''' є ''від'є́мно ви́значеною''; якщо ''f'' утворює як додатні так і від'ємні значення тоді '''A''' є ''невизначеною''.<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Chapter 7 }}</ref> Якщо квадратична форма ''f'' породжує лише не-від'ємні значення (додатні або нуль), симетрична матриця називається ''додатно напіввизначеною''.  Таблиця праворуч показує два варіанти для матриць 2-на-2.

Якщо в якості входів задати два різні вектори буде отримана [[білінійна форма]], що пов'язана із '''A''':
:''B''<sub>'''A'''</sub> ('''x''', '''y''') = '''x'''<sup>T</sup>'''Ay'''.<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Example 4.0.6, p. 169 }}</ref>

==== Ортогональна матриця ====
{{Main|Ортогональна матриця}}
''Ортогональна матриця'' це квадратна матриця із [[Дійсні числа|дійсними]] елементами, чиї стовпці і рядки є [[Ортогональність|ортогональними]] [[Одиничний вектор|одиничними векторами]] (тобто, ортонормованими векторами). Це рівносильно тому, що матриця ''A'' є ортогональною якщо її транспонована матриця дорівнює її оберненій матриці:
:<math>A^\mathrm{T}=A^{-1}, \,</math>
що тягне за собою
:<math>A^\mathrm{T} A = A A^\mathrm{T} = I_n, \,</math>
де ''I'' є одиничною матрицею розміром ''n''.

===Основні операції===

====Слід матриці====
[[Слід матриці|Слід]], tr('''A''') квадратної матриці '''A''' є сумою елементів її діагоналі. Хоча операція множення не є комутативною, слід добутку двох матриць не залежить від порядку операцій: 
: tr('''AB''') = tr('''BA'''). 
Це випливає прямо із визначення операції множення матриць:
:<math>\operatorname{tr}(\mathsf{AB}) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n A_{ij} B_{ji} = \operatorname{tr}(\mathsf{BA}).</math>
Також, слід матриці буде дорівнювати сліду її транспонованої матриці, тобто,
:{{nowrap begin}}tr('''A''') = tr('''A'''<sup>T</sup>){{nowrap end}}.

====Визначник====
{{Main|Визначник}}
[[File:Determinant example.svg|thumb|300px|right|Лінійне перетворення '''R'''<sup>2</sup> задане наведеною матрицею. Визначник матриці дорівнює −1, площа зеленого паралелограма праворуч дорівнює 1, але відображення має обернену [[Орієнтація|орієнтацію]].]]

''Визначник'' (визначник) det('''A''') або |'''A'''| квадратної матриці '''A''', що визначає деякі властивості матриці. Матриця є невиродженою, тоді й лише тоді коли її детермінант не нульовий. Його [[Модуль (математика)|абсолютне значення]] дорівнює площі (у '''R'''<sup>2</sup>) або об'єму (у '''R'''<sup>3</sup>) відображення одиничного квадрата (або куба), а його знак відповідає орієнтації відповідного лінійного відображення: визначник є додатнім тоді і лише тоді, коли орієнтація зберігається.

Визначник матриці 2-на-2 дорівнює
:<math>\det \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} = ad-bc.</math>
Детермінант матриці 3-на-3 матиме 6 термів ([[Правило Саррюса]]). Більш складна [[Формула Лейбніца для визначників|Формула Лейбніца]] узагальнює ці дві формули до всіх вимірів.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition III.2.1 }}</ref>

Визначник добутку квадратних матриць дорівнює добутку їх визначників: 
:{{nowrap begin}}det('''AB''') = det('''A''') · det('''B''').<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem III.2.12 }}</ref>{{nowrap end}}

Додавання до рядка іншого рядка помноженого на деяке значення, або додавання стовпця до іншого стовпця, не змінює детермінанта матриці. Заміна місцями двох рядків або стовпців приводить до зміни знаку визначника, тобто множення його на −1.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Corollary III.2.16 }}</ref> Використовуючи ці операції, можна звести будь-яку матрицю до нижньої (або верхньої) трикутної матриці, а для таких матриць визначник буде дорівнювати добутку елементів головної діагоналі; що є методом розрахунку визначника будь-якої матриці. З рештою, [[Теорема Лапласа|розклад Лапласа]] дозволяє виразити визначник через [[Мінор матриці|мінори]], тобто, детермінанти менших матриць.<ref>{{Harvard citations |last1=Mirsky |year=1990 |nb=yes |loc=Theorem 1.4.1 }}</ref> Це розкладання можна використовувати для рекурсивного визначення визначника, що можна розглядати як рівнозначний до формули Лейбніца. Визначник використовується для розв'язання систем лінійних рівнянь за допомогою [[Метод Крамера|метода Крамера]].<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem III.3.18 }}</ref>

== Матриці в абстрактній алгебрі ==
Якщо взяти [[кільце (алгебра)|кільце]] ''R'', можемо розглядати множину M(''m'',''n'', ''R'') усіх матриць ''m'' на ''n'' з елементами з ''R''. Додавання та множення цих матриць може бути означене, як у випадку дійсних чи комплексних матриць. Множина M(''n'', ''R'') усіх квадратних матриць ''n'' на ''n'' над кільцем ''R'' сама є кільцем, [[ізоморфізм (математика)|ізоморфним]] до кільця [[ендоморфізм]]ів правого ''R''-[[модуль (алгебра)|модуля]] ''R''<sup>''n''</sup>.

Також, якщо елементи беруться з [[Напівкільце|напівкільця]] ''S'', додавання та множення матриць можна означити звичайним чином. Множина всіх квадратних матриць ''n''×''n'' над ''S'' сама є напівкільцем. Зважте на те, що [[алгоритми]] множення матриць, такі як [[алгоритм Штрассена]], взагалі застосовні лише до матриць над кільцями і не працюють для матриць над напівкільцями, що не є кільцями. 

Якщо ''R'' є комутативним кільцем, тоді M(''n'', ''R'') є [[унітарна алгебра|унітарною]] [[асоціативні алгебри|асоціативною алгеброю]] над ''R''. Також має сенс означити [[детермінант]] квадратних матриць, застосовуючи [[формула Лейбніца|формулу Лейбніца]]. Матриця має обернену тоді й лише тоді, коли її визначник як елемент ''R'' має [[обернений елемент]] в ''R''.

Усі твердження цієї статті для дійсних та комплексних матриць справджуються і для матриць над довільним [[поле (в математиці)|полем]]. 

Матриці над [[Кільце поліномів|кільцем поліномів]] є важливими у вивченні [[Теорія керування|теорії керування]].

== Історія ==

Вивчати матриці почали досить давно. [[Латинський квадрат|Латинські квадрати]] та [[магічний квадрат|магічні квадрати]] були відомі ще в доісторичні часи. 

Китайський текст «[[Математика в дев'яти книгах]]» (написаний ще до [[наша ера|нашої ери]]) містить приклади використання матриць для розв'язання системи рівнянь, включаючи поняття [[визначник]]а, ще задовго до введення визначників японським математиком [[Такакадзу Секі]] ([[1683]]) та німецьким математиком [[Ґотфрід Вільгельм Лейбніц|Лейбніцем]] ([[1693]]). [[Габрієль Крамер|Крамер]] розвинув цю теорію, ввівши [[Метод Крамера|правило Крамера]] 1750 р. [[Карл Фрідріх Гаус|Карл Фрідріх Ґаус]] та [[Вільгельм Йордан]] розробили [[метод Ґауса — Йордана]] знаходження оберненої матриці [[1800]] р. 

Термін «матриця» уперше було запроваджено 1848 р. [[Сильвестр Джеймс Джозеф|Дж. Дж. Сильвестром]]. [[Артур Келі|Кейлі]], [[Гамільтон Вільям Роувен|Гамільтон]], [[Герман Ґрассман|Ґрассман]], [[Фробеніус Ґеорґ Фердинанд|Фробеніус]], [[фон Нойман Джон|фон Нойман]] та інші видатні математики зробили свій внесок у теорію матриць.

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Теорія матриць]]
* [[Лінійна алгебра]]
* [[Вектор]]
* [[Мінор матриці]]
* [[Алгебраїчне доповнення]]
* [[Загальна лінійна група]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* Узагальнена еквівалентність матриць і їх наборів та факторизація матриць над кільцями : монографія / В. М. Петричкович ; НАН України, Ін-т приклад. проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача. – Львів : ІППММ, 2015. – 312 с. – Бібліогр.: с. 285-311 (245 назв). – ISBN 978-96-02-7619-2
* {{книга
|автор       = [[Гантмахер Фелікс Рувимович|Гантмахер Ф. Р.]]
|заголовок   = Теория матриц
|рік         = 2010
|видавництво = Физматлит
|місто       = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок    = 560
}}
* {{книга
|автор       = Голуб Дж., ван Лоун Ч.
|заголовок   = Матричные вычисления
|рік         = 1999
|видавництво = Мир
|місто       = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок    = 548
}}
* {{книга
|автор       = Ланкастер П.
|заголовок   = Теория матриц
|рік         = 1982
|видавництво = Наука
|місто       = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок    = 272
}}
== Посилання ==
* {{Клепко_ВМ|частина=Матриці, дії над матрицями|сторінки= 5-7}}
{{Лінійна алгебра}}
[[Категорія:Теорія матриць|*]]
[[Категорія:Лінійна алгебра]]
[[Категорія:Абстрактна алгебра]]
[[Категорія:Математичні об'єкти]]
[[Категорія:Надпопулярні статті]]