Перегляд вихідного коду сторінки Метрика (математика)

[[Файл:Manhattan_distance.svg|міні|200x200пкс|Ілюстрація порівняння [[Манхеттенська метрика|манхеттенської метрики]] з евклідовою метрикою на площині: шляхи (червоний, жовтий і синій) мають однакову [[Довжина кривої|довжину]] (12) у манхеттенський метриці. А в евклідовій метриці, зелений шлях має довжину <math>6 \sqrt{2} \approx 8.49</math> і це єдиний найкоротший шлях.]]
'''Метрика''' або '''функція відстані''' в [[Математика|математиці]],&nbsp;— це [[Функція (математика)|функція]], яка визначає [[відстань]] між кожною парою елементів [[Множина|множини]]. Множина з метрикою називається [[Метричний простір|метричним простором]]. Метрика індукує [[Топологія|топологію]] на множині, але не всі топології можуть бути породжені метрикою.[[Топологічний простір]], чия топологія описана метрикою називається [[Metrizable|метризованим]].

Важливим джерелом метрик в [[Диференціальна геометрія|диференціальній геометрії]] є [[метричний тензор]], [[білінійна форма|білінійні форми]], якого можуть бути визначені як скаляр на [[Дотичний вектор|дотичних векторах]] на [[Диференційовний многовид|диференційовному многовиді]]. За допомогою метричного тензору через інтегрування можна визначити довжину кривих і тим самим задати метрику. Однак, не кожну метрику можна отримати з метричного тензору у такій спосіб.

== Визначення ==
'''Метрика''' множині X&nbsp;— це [[Функція (математика)|функція]] (називають ''функція відстані'' або просто '''відстань''')

: <math>d : X \times X \to [0,\infty)</math>,

де <math>[0,\infty)</math>&nbsp;— множина невід'ємних [[Дійсне число|дійсних чисел]] і для всіх <math>x,y,z \in X</math>, виконуються наступні умови:

: {|
| style="width:20px" |1.
| style="width:250px" |<math>d(x,y) \geqslant 0 </math>
|[[Знак (математика)|не від'ємність]]
|-
|2.
|<math>d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y</math>
|тотожність
|-
|3.
|<math>d(x,y)  = d(y,x) </math>
|симетричність
|-
|4.
|<math>d(x,z) \leqslant d(x,y) + d(y, z)</math>
|субадитивність або [[нерівність трикутника]]
|}

Умови 1 та 2 визначають ''додатньо-визначену функцію''.
Метрика називається ультраметрикою, якщо вона задовольняє більш сильному варіанту ''нерівності трикутника'', коли немає точок між іншими точками:

: <math>d(x, z) \leqslant \max(d(x, y), d(y, z))</math>

для всіх <math>x,y,z \in X</math>

Метрика d на X називається [[Внутрішня метрика|внутрішньою метрикою]], якщо будь-яку пару точок x та y в X можна з'єднати [[Крива|кривою]] з [[Крива|довжиною]] довільно близькою до ''d''(''x'', ''y'').

Для множин, на яких визначено додавання + : ''X'' × ''X'' → ''X'', d називають '''[[Трансляційна симетрія|трансляційною інваріантною метрикою]]''', якщо

: <math>d(x, y) = d(x + a, y + a)</math>

для всіх <math>x,y,a \in X</math>.

== Див. також ==
* [[Повний метричний простір]]

{{Геометрія-доробити}}
{{Перекласти|en|Metric (mathematics)|дата=грудень 2018}}

[[Категорія:Метрична геометрія]]
[[Категорія:Топологія]]