Перегляд вихідного коду сторінки Натуральний логарифм

[[Файл:Log.svg|thumb|right|300 px|Графік функції натурального логарифма. Функція повільно наближається до позитивної нескінченності при збільшенні ''x'' і швидко наближається до негативної нескінченності, коли ''x'' прагне до 0 («повільно» та «швидко» у порівнянні з будь-якою степеневою функцією від ''x'').]]

'''Натуральний логарифм'''&nbsp;— це [[логарифм]] з [[Піднесення до степеня|основою]] ''[[e (число)|e]]'', де ''e''&nbsp;— [[Ірраціональні числа|ірраціональна]] константа, що дорівнює приблизно 2,718<span style="margin-left:0.25em">281</span><span style="margin-left:0.2em">828</span>. Натуральний логарифм зазвичай позначають як ln(''x''), log<sub>''e''</sub> (''x'') або іноді просто log(''x''), якщо мається на увазі ''e''.<ref>{{cite book|title=Mathematics for physical chemistry|edition=3rd|first1=Robert G.|last1=Mortimer|publisher=Academic Press|year=2005|isbn=0-125-08347-5|page=9|url=http://books.google.com/books?id=nGoSv5tmATsC}}, [http://books.google.com/books?id=nGoSv5tmATsC&pg=PA9 Extract of page 9]</ref>

Натуральний логарифм числа ''x'' (записується як ''ln(x)'')&nbsp;— це [[Піднесення до степеня|показник степеня]], до якого потрібно піднести число ''e'', щоб отримати ''x''. Наприклад, ''ln(7,389…)'' дорівнює 2, тому що ''e''<sup>2</sup>=''7,389''. Натуральний логарифм самого числа ''e'' (''ln(e)'') дорівнює 1, тому що ''e''<sup>1</sup> =''e'', а натуральний логарифм 1 (''ln(1)'') дорівнює 0, оскільки ''e''<sup>0</sup> = 1.

Натуральний логарифм може бути визначений для будь-якого позитивного [[Дійсні числа|дійсного числа]] ''a'', як [[Інтеграл|площа під кривою]]''y''=1/''x'' від 1 до ''a''. Простота цього визначення, яка узгоджується з багатьма іншими формулами, у яких застосовується натуральний логарифм, привела до появи назви «натуральний». Це визначення можна розширити на [[Комплексне число|комплексні числа]], про що буде сказано нижче.

Якщо розглядати натуральний логарифм як речову функцію дійсної змінної, то вона є [[Обернена функція|оберненою функцією]] до експоненційної функції, з чого слідують тотожності:
: <math>e^{\ln(a)} = a \quad (a > 0)</math>
: <math>\ln(e^a) = a</math>

Подібно до всіх логарифмів, натуральний логарифм відображає множення у додавання:
: <math> \ln(xy) = \ln(x) + \ln(y) \!\, </math>
Таким чином, логарифмічна функція являє собою [[ізоморфізм]] [[Група (математика)|групи]] позитивних дійсних чисел щодо множення на групу дійсних чисел по додаванню, який можна представити у вигляді [[Функція (математика)|функції]]:
: <math>\ln\colon \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}.</math>

Логарифм може бути визначений для будь-якого додатної основи, відмінної від 1, а не лише для ''e'', але логарифми для інших основ відрізняються від натурального логарифма лише постійним множником, і, зазвичай, визначаються у термінах натурального логарифма. Логарифми корисні для вирішення рівнянь, у яких невідомі присутні як основи ступеня. Наприклад, логарифми використовуються для знаходження постійної розпаду для відомого періоду напіврозпаду, або для знаходження часу розпаду у вирішенні проблем [[Закон радіоактивного розпаду|радіоактивності]]. Вони відіграють важливу роль у багатьох областях математики та прикладних наук, застосовуються у сфері фінансів для вирішення багатьох завдань, включаючи розрахунок [[Складні відсотки|складних відсотків]].

== Історія ==
Перша згадка натурального логарифма належить [[Ніколас Меркатор|Ніколасу Меркатору]] у роботі ''Logarithmotechnia'', опублікованій 1668 року<ref>{{cite web|author=J J O'Connor and E F Robertson|url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html|title=The number e|publisher=The MacTutor History of Mathematics archive|date=2001-09|archiveurl=https://www.webcitation.org/65NiCJyO4?url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html|archivedate=2012-02-11|accessdate=2014-05-05|deadurl=no}}</ref>, хоча вчитель математики Джон Спайделл ще 1619 року склав таблицю натуральних логарифмів.<ref>{{cite book|last=Cajori|first=Florian|title=A History of Mathematics, 5th ed|pages=152|publisher=AMS Bookstore|year=1991|isbn=0821821024|url=http://books.google.com/?id=mGJRjIC9fZgC&dq=%22Cajori%22+%22A+History+of+Mathematics%22+}}</ref> Раніше його називали гіперболічним логарифмом,<ref>{{cite web|author=Flashman, Martin|url=http://www.humboldt.edu/~mef2/Presentations/Estimations.html|title=Estimating Integrals using Polynomials|archiveurl=https://www.webcitation.org/65NiCr1s9?url=http://www.humboldt.edu/moved/user-account-moved.php?old=mef2|archivedate=2012-02-11|accessdate=2014-05-05|deadurl=no}}</ref> оскільки він відповідає площі під гіперболою. Іноді його називають логарифмом Непера, хоча первісний зміст цього терміна був дещо іншим.

== Конвенції про позначення ==

=== Українська (і радянська в цілому) система ===
Натуральний логарифм прийнято позначати через «ln(''x'')», логарифм з основою 10&nbsp;— через «lg(''x'')», а інші основи прийнято вказувати явно при символі «log».

У багатьох роботах з дискретної математики, кібернетики, інформатики автори використовують позначення «log(''x'')» для логарифмів за основою 2, але ця угода не є загальноприйнятою та вимагає роз'яснення або у списку використаних позначень, або (за відсутності такого списку) виноскою або коментарем при першому використанні.

Дужки навколо аргументу логарифмів (якщо це не призводить до помилкового читання формули) зазвичай опускають, а при зведенні логарифма у ступінь показник приписують безпосередньо до знака логарифма: ln<sup>2</sup> ln<sup>3</sup> 4''x''<sup>5</sup> ='''['''ln''' ('''[ln(4''x''<sup>5</sup>)]<sup>3</sup>''')]'''<sup>2</sup>.

=== Англо-американська система ===
Математики, статистики та частина інженерів зазвичай використовують для позначення натурального логарифма або «log(''x'')», або «ln(''x'')», а для позначення логарифма за основою 10&nbsp;— «log<sub>10</sub> (''x'')».

Деякі інженери, біологи та інші фахівці завжди пишуть «ln(''x'')» (або зрідка «log<sub>e</sub> (''x'')»), коли вони мають на увазі натуральний логарифм, а запис «log(''x'')» у них означає log<sub>10</sub> (''x'').

У [[Теоретична інформатика|теоретичній інформатиці]], теорії інформації та криптографії «log(''x'')» зазвичай означає логарифм з основою 2 «log<sub>2</sub> (''x'')» (хоча часто замість цього пишеться просто lg(''x'')).

=== Техніка ===
Найчастіше використовується у [[Мова програмування|мовах програмування]] та пакетах прикладних програм, включаючи [[C (мова програмування)|C]], [[C++]], SAS, [[MATLAB]], [[Fortran|Фортран]] і [[BASIC]] функція «log» або «LOG», яка відповідає натурального логарифму.

У калькуляторах натуральний логарифм позначається '''ln''', тоді як '''log''' служить для позначення логарифма за основою 10.

== Походження терміну ''натуральний логарифм'' ==
Спочатку може здатися, що оскільки наша система числення має [[Десяткова система числення|основу 10]], то це основа є більш «натуральною», ніж основа ''e''. Але математично число 10 не є особливо значущим. Його використання швидше пов'язано з культурою, воно є загальним для багатьох систем числення, і пов'язано це, ймовірно, з числом пальців у людей.<ref>{{cite book|last=Boyers|first=Carl|title=A History of Mathematics|publisher=John Wiley & Sons|year=1968}}</ref> Деякі культури засновували свої системи числення на інших основах: 5, 8, 12, 20 і 60.<ref>{{cite journal|last=Harris|first=John|title=Australian Aboriginal and Islander mathematics|journal=Australian Aboriginal Studies|volume=2|pages=29–37|year=1987|url=http://www1.aiatsis.gov.au/exhibitions/e_access/serial/m0005975_v_a.pdf|format=PDF|accessdate=5 травень 2014|archiveurl=https://web.archive.org/web/20070831203123/http://www1.aiatsis.gov.au/exhibitions/e_access/serial/m0005975_v_a.pdf|archivedate=31 серпень 2007|deadurl=yes}}</ref><ref>{{cite journal|last=Large|first=J.J.|title=The vigesimal system of enumeration|journal=Journal of the Polynesian Society|volume=11|issue=4|pages=260–261|year=1902|url=http://www.jps.auckland.ac.nz/document/?wid=636}}</ref><ref>{{cite journal|last=Cajori  first=Florian|title=Sexagesimal fractions among the Babylonians|journal=American Mathematical Monthly|volume=29|pages=8–10|year=1922|doi=10.2307/2972914|jstor=2972914|issue=1 }}</ref> Які використовуються в різних випадках - для вимірювання часу, кутів і т.д. 

log<sub>''e''</sub> є «натуральним» логарифмом, оскільки він виникає природно та з'являється в математиці дуже часто. Наприклад, розглянемо проблему [[Похідна|похідної]] логарифмічної функції:<ref>{{cite book|title=Calculus: An Applied Approach|edition=8th|first=Ron|last=Larson|publisher=Cengage Learning|year=2007|isbn=0-618-95825-8|page=331|url=http://books.google.com/books?id=rbDG7V0OV34C}}</ref>

: <math>\frac{d}{dx}\log_b(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\ln(b)} \ln{x} \right) = \frac{1}{\ln(b)} \frac{d}{dx} \ln{x} = \frac{1}{x\ln(b)} </math>

Якщо основа ''b=e'', то похідна дорівнює просто 1/''x'', а при ''x''=1 ця похідна дорівнює 1. Іншим обґрунтуванням, за яким основа ''e'' логарифма є найбільш природною, є те, що вона може бути достатньо просто визначена у термінах простого інтеграла або [[Ряд Тейлора|ряду Тейлора]], чого не можна сказати про інші основи.

Подальші обґрунтування природності не пов'язані з численням. Так, наприклад, є кілька простих рядів з натуральними логарифмами. П'єтро Менголі та Микола Меркатор називали їх ''логаріфмус Натураліс'' кілька десятиліть до тих пір, поки [[Ісаак Ньютон|Ньютон]] та [[Ґотфрід Вільгельм Лейбніц|Лейбніц]] розробили диференціальне та інтегральне числення.<ref>{{cite web|last=Ballew|first=Pat|title=Math Words, and Some Other Words, of Interest|url=http://www.pballew.net/arithme1.html#ln|archiveurl=https://www.webcitation.org/65NiDLLaT?url=http://www.pballew.net/arithme1.html#ln|archivedate=2012-02-11|accessdate=2014-05-05|deadurl=yes}}</ref>

== Визначення ==
[[Файл:Log-pole-x 1.svg|thumb|ln(a) визначається як площа під кривою f(''x'') = 1/''x ''від 1 до ''a''.|236x236px]]
Формально ln(''a'') може бути визначений як площа під кривою графіка 1/''x'' від 1 до ''a'', тобто як [[інтеграл]]:
: <math>\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.</math>

Це дійсно логарифм, оскільки він задовольняє фундаментальній властивості логарифма:
: <math>\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) \,\!</math>

Це можна продемонструвати, допускаючи <math>t=\tfrac xa</math> таким чином:

: <math>
\ln (ab) 
= \int_1^{ab} \frac{1}{x} \; dx 
= \int_1^a \frac{1}{x} \; dx \; + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \; dx 
=\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{t} \; dt 
= \ln (a) + \ln (b)
</math>

Число ''[[e (число)|e]]'' може бути визначене як єдине дійсне число ''a'' таке, що ln(''a'') = 1.

Або ж, якщо [[показникова функція]] була визначена раніше з використанням [[Ряд (математика)|нескінченних рядів]], натуральний логарифм може бути визначений як [[Обернена функція|зворотня]] до неї функція, тобто ln&nbsp;— це функція, така що <math>e^{\ln(x)} = x\!</math>. Оскільки [[область значень]] експоненціальної функції від реальних аргументів є всі позитивні [[дійсні числа]], а експонентна функція строго зростає, то ця функція буде визначена для всіх додатних ''x''.

== Властивості ==
* <math>\ln(1) = 0\,</math>

* <math>\ln(-1) = i \pi \quad \,</math>
:: (комплексний логарифм)

* <math>\ln(x) < \ln(y),</math> для <math>0 < x < y\;</math>

* <math>\frac{h}{1+h} \leqslant \ln(1+h) \leqslant h,</math> для <math>h > -1\;</math>

* <math>\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1.\,</math>

== Похідна, [[ряд Тейлора]] ==
[[Файл:LogTay.svg|300px|thumb|Поліноми Тейлора дають точну апроксимацію для <math>\ln (1+x)\,</math> лише в діапазоні-1 <''x''≤ 1. Зауважимо, що для ''x''> 1 поліноми Тейлора вищого ступеня дають апроксимацію ''гірше''.]]

[[Похідна]] натурального логарифма дорівнює
: <math>\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.\,</math>

На підставі цього можна виконати розкладання <math>\ln(1+x)\,</math> в [[ряд Тейлора]] близько 0, званого іноді {{Не перекладено|ряд Меркатора|||Mercator series}}:
: <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots,</math> для <math>\left|x\right| \leqslant 1, \quad x \neq -1</math>

Праворуч дано зображення <math>\ln (1+x)\,</math> та деяких її поліномів Тейлора близько 0. Ці апроксимації сходяться до функції лише в області -1 <''x''≤ 1, а за її межами поліноми Тейлора вищих ступенів дають апроксимацію менш точну.

Підставляючи ''x''-1 замість ''x'', отримаємо альтернативну формулу для ln(x), а саме:

: <math>\ln(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} (x-1)^n</math>

: <math>\ln(x)= (x - 1) - \frac{(x-1) ^ 2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} + \dots</math>

: для <math>\left|x-1\right| \leqslant 1,\quad  x \neq 0.</math><ref>[http://www.math2.org/math/expansion/log.htm «Logarithmic Expansions» at Math2.org]</ref>

За допомогою {{Не перекладено|перетворення Ейлера|||Binomial_transform#Euler_transform}} ряду Меркатора можна отримати такий вираз, який справедливий для будь-якого ''х'' більшого 1 за абсолютною величиною:

: <math>\ln{x \over {x-1}} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n x^n}} = {1 \over x}+ {1 \over {2x^2}} + {1 \over {3x^3}} + \dots</math>

Цей ряд схожий на формулу {{Не перекладено|Бейлі—Боруейна—Плаффа|||Bailey–Borwein–Plouffe formula}}.

Також зауважимо, що <math> x \over{x-1} </math>&nbsp;— сама до себе буде оберненою функцією (тобто квадрат функції дорівнює тотожній функції), тому для отримання натурального логарифма певного числа ''y'' потрібно просто ''x'' присвоїти значення <math> y \over {y-1} </math>.

== Натуральний логарифм в інтегруванні ==
Натуральний логарифм дає просту [[інтеграл]]ьну функцію вигляду ''g'' (''x'') =''f''' (''x'') /''f'' (''x'') : [[первісна]] функції''g'' (''x'') має вигляд ln(|''f'' (''x'')|). Це підтверджується [[Диференціювання складної функції|ланцюговим правилом]] та наступним фактом: 

: <math>\ {d \over dx}\left( \ln \left|x \right|\right) = {1 \over x}.</math>

В іншому вигляді:

: <math>\int { 1 \over x} dx = \ln|x|+ C</math>
і
: <math>\int { \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx} = \ln|f(x)|+ C.</math>

Нижче дано приклад у випадку ''g'' (''x'') = tg(''x''):

: <math>\int \mathrm{tg}\, (x) \,dx = \int {\sin (x) \over \cos (x)} \,dx</math>
: <math>\int \mathrm{tg}\, (x) \,dx = \int {-{d \over dx} \cos (x) \over {\cos (x)}} \,dx.</math>
Нехай ''f'' (''x'') = cos(''x'') і ''f''' (''x'') =&nbsp;— sin(''x'') :
: <math>\int \mathrm{tg}\, (x) \,dx =-\ln{\left|\cos (x) \right|} + C</math>
: <math>\int \mathrm{tg}\, (x) \,dx = \ln{\left|\sec (x) \right|} + C</math>

де ''C''&nbsp;— довільна константа.

Натуральний логарифм можна проінтегрувати за допомогою [[інтегрування частинами]]:

: <math>\int \ln (x) \,dx = x \ln(x)- x + C.</math>
 

== Чисельне значення ==
Для розрахунку чисельного значення натурального логарифма числа можна використовувати розкладання його у ряд Тейлора у вигляді:

: <math>\ln(1+x)= x \,\left( \frac{1}{1} - x\,\left(\frac{1}{2} - x \,\left(\frac{1}{3} - x \,\left(\frac{1}{4} - x \,\left(\frac{1}{5}- \dots \right)\right)\right)\right)\right),</math> для <math>\left|x\right|<1.\,\!</math>

Щоб отримати найшвидшу збіжність, можна скористатися наступною тотожністю:
:<math>\begin{align}
\ln(x) = \ln\left(\frac{1+y}{1-y}\right)
&= 2\,y\, \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{3} y^{2} + \frac{1}{5} y^{4} + \frac{1}{7} y^{6} + \frac{1}{9} y^{8} + \cdots \right)\\
&= 2\,y\, \left( \frac{1}{1} + y^{2} \, \left( \frac{1}{3} +  y^{2} \, \left( \frac{1}{5} + y^{2} \, \left( \frac{1}{7} + y^{2} \, \left( \frac{1}{9} + \cdots \right) \right) \right)\right) \right)
\end{align}</math>


: за умови, що ''y''= (''x''-1)/(''x''+1) і Re(''x'') &ge; 0 та ''x'' ≠ 0.

Для ln(''x''), де ''x''> 1, чим ближче значення ''x'' до 1, тим швидша збіжність. Тотожності, пов'язані з логарифмом, можна використовувати для швидшого обчислення:
:<math>\begin{align}
\ln(123.456) &= \ln(1.23456 \times 10^2)\\
&= \ln(1.23456) + \ln(10^2)\\
&= \ln(1.23456) + 2 \times \ln(10)\\
&\approx \ln(1.23456) + 2 \times 2.3025851.
\end{align}</math>

Ці методи застосовувалися ще до появи калькуляторів, для чого використовувалися числові таблиці та виконувалися перетворення, подібні наведеним вище.

=== Натуральний логарифм від 10 ===
Натуральний логарифм від 10, який в десятковому вигляді дорівнює 2,30258509...,<ref>{{OEIS2C|A002392}}</ref> використовується, наприклад, у розрахунку натуральних логарифмів чисел, представлених в [[експоненціальний запис|експоненціальному вигляді]], а [[мантиса]] множиться за степінь 10:

: <math>\ln (a\times 10^n) = \ln a + n \ln 10.</math>

Це означає, що можна ефективно обчислювати логарифми чисел з дуже великими або дуже маленькими [[величина]]ми за допомогою логарифмів від відносно невеликої множини чисел в діапазоні <math>[1,10)</math>.

=== Висока точність ===
Для обчислення натурального логарифма з великою кількістю цифр точності ряд Тейлора не є ефективним, оскільки його збіжність повільна. Альтернативою є використання [[Метод Ньютона|методу Ньютона]], Щоб інвертувати в експонентну функцію, ряд який сходиться швидше. Оптимально, ітерація спрощується до
:<math> y_{n+1} = y_n + 2 \cdot \frac{ x - \exp ( y_n ) }{ x + \exp ( y_n ) } \,</math>
яка сходиться з кубічною швидкістю до ln(''x'').

Альтернативою для дуже високої точності розрахунку є формула:<ref>{{cite journal|first1=T.|last1=Sasaki|first2=Y.|last2=Kanada|title=Practically fast multiple-precision evaluation of log(x)|journal=Journal of Information Processing|volume=5|issue=4|pages=247–250|year=1982|url=http://ci.nii.ac.jp/naid/110002673332|accessdate=30 March 2011}}</ref><ref>{{Cite journal|first1=Timm|last1=Ahrendt|title=Fast computations of the exponential function|series=Lecture notes in computer science|doi=10.1007/3-540-49116-3_28|volume=1564|year=1999|pages=302–312}}</ref>

: <math>\ln x \approx \frac{\pi}{2 M(1,4/s)} - m \ln 2</math>

де ''M'' позначає арифметико-геометричне середнє 1 і 4/s, і

: <math>s = x \,2^m > 2^{p/2},</math>

''m'' вибрано так, що ''p'' знаків точності досягається. (У більшості випадків значення 8 для m цілком достатньо.) Справді, якщо використовується цей метод, може бути застосована інверсія Ньютона натурального логарифма для ефективного обчислення експоненціальної функції. (Константи ln 2 і [[число пі|<math>\pi</math>]] можуть бути попередньо обчислені до бажаної точності, використовуючи будь-який з відомих швидкозбіжних рядів.)

=== Обчислювальна складність ===
[[Теорія складності обчислень|Обчислювальна складність]] натуральних логарифмів (за допомогою арифметико-геометричного середнього) дорівнює O (''M'' (''n'') ln''n''). Тут ''n''&nbsp;— число цифр точності, для якої натуральний логарифм повинен бути оцінений, а ''M'' (''n'')&nbsp;— обчислювальна складність множення двох ''n''-значних чисел.

== Ланцюговий дріб ==
Хоча для представлення логарифма відсутній простий [[ланцюговий дріб]], але можна використовувати декілька узагальнених ланцюгових дробів, у тому числі:
: <math>
\log(1+x)=\frac{x^1}{1}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\dots=
\cfrac{x}{1-0x+\cfrac{1^2x}{2-1x+\cfrac{2^2x}{3-2x+\cfrac{3^2x}{4-3x+\cfrac{4^2x}{5-4x+\ddots}}}}}
</math>

: <math>
\log \left( 1+\frac{2x}{y} \right) = \cfrac{2x} {y+\cfrac{x} {1+\cfrac{x} {3y+\cfrac{2x} {1+\cfrac{2x} {5y+\cfrac{3x} {1+\ddots}}}}}} 
= \cfrac{2x} {y+x-\cfrac{(1x)^2} {3(y+x)-\cfrac{(2x)^2} {5(y+x)-\cfrac{(3x)^2} {7(y+x)-\ddots}}}}
</math>

== Комплексні логарифми ==
{{main|Комплексний логарифм}}
Експоненціальна функція може бути розширена до функції, яка дає [[комплексне число]] виду ''e''<sup>''x''</sup> для будь-якого довільного комплексного числа ''x'', при цьому використовується нескінченний ряд з комплексним ''x''. Ця показова функція може бути інвертована з утворенням комплексного логарифма, який буде володіти більшою частиною властивостей звичайних логарифмів. Є, однак, дві труднощі: не існує ''x'', для якого ''e''<sup>''x''</sup> = 0, і виявляється, що ''e''<sup>2''πi''</sup> = 1 =''e''<sup>0</sup>. Оскільки властивість мультиплікатівності дійсна для комплексної експоненційної функції, то ''e''<sup>''z''</sup> =''e''<sup>''z''+2''nπi''</sup> для всіх комплексних ''z'' і цілих ''n''.

Логарифм не може бути визначений на всій [[Комплексна площина|комплексній площині]], і навіть при цьому він є багатозначним&nbsp;— будь комплексний логарифм може бути замінений на «еквівалентний» логарифм, додавши будь-яке ціле число, кратне 2''πi''. Комплексний логарифм може бути однозначним лише на зрізі комплексній площині. Наприклад, ln ''i''= 1/2''πi'' або 5/2''πi'' або −3/2''πi'', і&nbsp;т.&nbsp;д., і хоча ''i''<sup>4</sup> = 1, 4 log''i'' може бути визначено як 2''πi'', або 10''πi'' або −6''πi'', і так далі.

<gallery caption="Функції натурального логарифма на комплексній площині (головна гілка) ">
Файл:NaturalLogarithmRe.png|''z''= Re(ln(x+iy) )
Файл:NaturalLogarithmImAbs.png|''z''= Im(ln(x+iy) )
Файл:NaturalLogarithmAbs.png|''z''=|ln(x+iy)|
Файл:NaturalLogarithmAll.png|Суперпозиція трьох попередніх графіків 
</gallery>

== Див. також ==
* [[Джон Непер]]&nbsp;— винахідник логарифмів
* [[Інтегральний логарифм]]
* [[e (число)|Число ''e'']]
* [[Леонард Ейлер]]

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Посилання ==
* «[http://zero2hero.org/articles/11-math/7-razbiraemsya-s-naturalnim-logarifmom Розбираємося з натуральним логарифмом]»&nbsp;— переклад статті [http://betterexplained.com/articles/demystifying-the-natural-logarithm-ln/ Demystifying the Natural Logarithm (ln)|BetterExplained] {{ref-en}}

[[Категорія:Елементарні функції]]
[[Категорія:Логарифми]]