Перегляд вихідного коду сторінки Нерівність Коші — Буняковського

'''Нерівність Коші—Буняковського''' (''Коші-Шварца''; {{lang-en|Cauchy–Schwarz inequality}}, {{lang-en|Cauchy–Schwarz–Bunyakovsky inequality}})&nbsp;— [[нерівність]], що зв'язує [[норма (математика)|норму]] та [[скалярний добуток]] векторів [[Векторний простір|векторного простору]].

Еквівалентно [[нерівність трикутника|нерівності трикутника для норми]] в [[Гільбертів простір|просторі зі скалярним добутком]].

Знаходить застосування в [[лінійна алгебра|лінійній алгебрі]] для [[вектор]]ів, в [[математичний аналіз|математичному аналізі]] для [[ряд (математика)|нескінченних рядів]] та [[інтеграл|інтегрування]] [[добуток|добутків]] та в [[теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]] при застосуванні до [[коефіцієнт варіації|варіації]] та [[коваріація|коваріації]].

Нерівність для сум було опубліковано [[Коші Оґюстен-Луї|Оґюстеном Коші]] ([[1821]]) (тому цей випадок називають&nbsp;— '''Нерівність Коші'''), а відповідна нерівність для інтегралів була вперше сформульована [[Буняковський Віктор Якович|Віктором Буняковським]] ([[1859]]) та вдруге відкрита [[Герман Шварц|Германом Шварцем]] ([[1888]]).

== Формулювання ==

=== Загальний випадок ===
Для довільних векторів <math>\ x</math>, <math>\ y</math> із [[прегільбертів простір|прегільбертового простору]] виконується наступна нерівність:
: <math>|\langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle</math>,
де <math> \langle \cdot, \cdot \rangle</math>&nbsp;— операція [[Скалярний добуток|скалярного добутку]], а <math>\ |\cdot| </math>&nbsp;— [[Абсолютна величина|модуль числа]].

Якщо означити [[нормований простір|норму]], то нерівність можна записати як:
: <math> |\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|</math>.

Причому рівність виконується лише у випадку коли вектори <math>\ x </math>, <math>\ y </math> [[Лінійно незалежні вектори|лінійно залежні]].

=== Часткові випадки ===
==== Лінійний простір <math>\R^n</math> ====
Скалярний добуток векторів <math>\ x=(x_1,x_2,\ldots x_n)</math> і <math>\ y=(y_1,y_2,\ldots y_n)</math> означимо за формулою

:<math> \langle x,y \rangle=\sum\limits_{i=1}^{n} x_iy_i </math>,

тоді отримаємо, що для дійсних чисел <math>\ x_1,x_2,\ldots x_n,y_1,y_2, \ldots y_n</math> виконується нерівність

:<math>\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right).</math>

у заданій формі нерівність Коші-Буняковського часто використовується на [[математична олімпіада|математичних олімпіадах]].

==== Лінійний простір <math>\ C[a;b]</math> ====
<math>\ C[a;b]</math>&nbsp;— [[лінійний простір]] [[неперервна функція|неперервних]] на відрізку <math>\ C[a;b]</math> функцій.

Скалярний добуток для функцій <math>\ f(x), g(x)\in C[a;b]</math> означимо через

<math> \langle f(x),g(x) \rangle=\int\limits_{a}^{b} f(x)g(x)\,dx </math>, то виконуватиметься нерівність

:<math>\left|\int\limits_{a}^{b} f(x) g(x)\,dx\right|^2\leq\int\limits_{a}^{b} \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\limits_{a}^{b}\left|g(x)\right|^2\,dx.</math>

== Доведення ==
=== Загальний випадок ===
Для довільного <math>\lambda\in\R.</math> Розглянемо скалярний квадрат вектора <math>\ x+\lambda y</math>:

<math>0 \le \langle x+\lambda y, x+\lambda y \rangle = \langle x, x \rangle + 2\lambda \langle x, y \rangle+\lambda^2 \langle y, y \rangle </math>

Отримуємо квадратичну нерівність <math>\lambda^2\|y\|^2+2\lambda\langle x,y \rangle + \|x\|^2\ge 0</math> для всіх <math>\lambda \in \R</math>. Це можливо, [[тоді і тільки тоді]], коли її [[дискримінант квадратного рівняння|дискримінант]] <math> 4\langle x,y \rangle^2 - 4\|x\|^2\|y\|^2 </math> не більший від нуля.

Звідки отримуємо <math> \langle x,y \rangle\le\|x\| \cdot \|y\|</math>.

=== Частковий випадок ===
==== Лінійний простір <math>\R^n</math> ====

В лінійному просторі <math>\R^n</math> з введеним скалярним добутком <math> \langle x,y \rangle=\sum\limits_{i=1}^{n} x_iy_i </math> нерівність Коші-Буняковського можна довести і по іншому, зокрема так

:<math> \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n \left( x_i y_j - x_j y_i \right)^2 
= \sum_{i=1}^n x_i^2 \sum_{j=1}^n y_j^2 + \sum_{j=1}^n x_j^2 \sum_{i=1}^n y_i^2 
- 2 \sum_{i=1}^n x_i y_i \sum_{j=1}^n x_j y_j </math>

або після зведення однакових доданків

:<math> \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \left( x_i y_j - x_j y_i \right)^2 
= \sum_{i=1}^n x_i^2 \sum_{i=1}^n y_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 . </math>

Оскільки ліва чатина останньої тотожності завжди є невід'ємною, бо є сумою квадратів, то права також приймає невід'ємні значення, звідки негайно слідує нерівність Коші-Буняковського в [[Векторний простір|лінійному просторі]] <math>\R^n</math>

:<math> \sum_{i=1}^n x_i^2 \sum_{i=1}^n y_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 \geq 0. </math>

== Найвідоміші застосування нерівності Коші-Буняковського ==

=== [[Нерівність трикутника]] ===

:<math>
\begin{align}
\|x + y\|^2 & = \langle x + y, x + y \rangle \\
& = \|x\|^2 + \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle + \|y\|^2 \\
& \le \|x\|^2 + 2|\langle x, y \rangle| + \|y\|^2 \\
& \le \|x\|^2 + 2\|x\|\|y\| + \|y\|^2 \\
& = \left(\|x\| + \|y\|\right)^2,
\end{align}
</math>

добувши корінь з обидвох частин, отримаємо [[нерівність трикутника]].

=== Математичні олімпіади ===

На математичних олімпіадах часто використовують наслідок з нерівності Коші-Буняковського для [[Векторний простір|лінійного простору]] <math>\R^n</math>:

для додатніх дійсних <math>\ a_1, a_2, \ldots a_n, b_1, b_2 \ldots b_n </math>

:<math> \dfrac{a_1^2}{b_1}+\dfrac{a_2^2}{b_2}+\ldots+\dfrac{a_n^2}{b_n} \ge\dfrac{(a_1+a_2+\ldots+a_n)^2}{b_1+b_2+\ldots+b_n}. </math>

Нерівність негайно слідує з нерівності Коші-Буняковського, якщо покласти <math> x_i=\sqrt{\dfrac{a_i^2}{b_i}}, \quad y_i=\sqrt{b_i} </math>.

Зокрема дану нерівність можна використати для доведення [[Нерівність Несбіта|нерівності Несбіта]]:

з нерівностей Коші-Буняковського і [[Нерівність трьох квадратів|трьох квадратів]] отримуємо:

:<math> \dfrac{a^2}{a(b+c)}+\dfrac{b^2}{b(a+c)}+\dfrac{c^2}{c(a+b)}\ge\dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)}\ge\dfrac{3}{2},</math>

з чого негайно слідує нерівність Несбіта.

== Джерела ==
* {{cite book|
title=Неравенства|
author=Э. Беккенбах, Р. Беллман|
year=1965|
publisher=Мир| location=Москва|
}}

* {{cite book|
title=Лінійна алгебра|
author=В. І. Андрійчук, Б. В. Забавський|
year=2008|
publisher=Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка| location=Львів|
isbn=978-966-613-623-0
}}

== Дивіться також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Скалярний добуток]]

[[Категорія:Лінійна алгебра]]
[[Категорія:Нерівності]]