Перегляд вихідного коду сторінки Проективний об'єкт

У [[теорія категорій|теорії категорій]], поняття '''проективного об'єкта''' узагальнює [[проективний модуль|проективні модулі]]. Проективні об'єкти у [[абелева категорія|абелевих категоріях]] широко використовуються у [[гомологічна алгебра|гомологічній алгебрі]]. Двоїстим до проективних об'єктів є ін'єктивні об'єкти.

== Означення ==
Об'єкт <math>P</math> у категорії <math>\mathcal{C}</math> називається '''проективним''' якщо для довільного [[епіморфізм]]а <math>e:E\twoheadrightarrow X</math> і [[морфізм]]а <math>f:P\to X</math>, існує морфізм <math>\overline{f}:P\to E</math> для якого <math>e\circ \overline{f}=f</math>, тобто існує [[комутативна діаграма]]:

[[Image:Projective object.svg|150px]]

У локально малій категорії <math>\mathcal{C}</math> <math>P</math> є проективним якщо і тільки якщо [[функтор Hom]]
:<math> \operatorname{Hom}(P,-)\colon\mathcal{C}\to\mathbf{Set}</math>
зберігає [[епіморфізм]]и.<ref>{{Cite book|url=https://www.worldcat.org/oclc/851741862|title=Categories for Working Mathematician|last=Mac Lane|first=Saunders|date=1978|publisher=Springer New York|isbn=1441931236|edition=Second|location=New York, NY|oclc=851741862|pages=114}}</ref>

=== Абелеві категорії ===

Нехай <math>\mathcal{C}</math> — локально мала [[абелева категорія]]. У цьому випадку об'єкт  <math>P\in\mathcal{C}</math> називається ''проективним об'єктом'' якщо

:<math> \operatorname{Hom}(P,-)\colon\mathcal{C}\to\mathbf{Ab}</math>

є [[точний функтор|точним функтором]], де <math>\mathbf{Ab}</math> є [[категорія (математика)|категорією]] [[абелева група|абелевих груп]].

Іншими еквівалентними означеннями у цьому випадку є

* [[Функтор Hom]] <math> \operatorname{Hom}(P,-)\colon\mathcal{C}\to\mathbf{Set}</math> переводить [[Коядро (теорія категорій)|коядра]] об'єктів у коядра.
* Функтор Hom <math> \operatorname{Hom}(P,-)</math> переводить ковирівнювачі у ковирівнювачі.
* Функтор Hom <math> \operatorname{Hom}(P,-)</math> переводить кодекартові квадрати у кодекартові квадрати.
* Кожна послідовність виду
::<math>0 \to U \to V \to P \to 0</math>
:є [[точна послідовність|точною]] у <math>{\mathcal C}</math> тоді і тільки тоді коли вона розщеплюється, тобто <math>V</math> є ізоморфним прямій сумі <math> U \oplus P </math>.

==Властивості==

* [[Кодобуток]] двох проективних об'єктів є проективним об'єктом.<ref>{{Cite book|url=https://www.worldcat.org/oclc/740446073|title=Category theory|last=Awodey|first=Steve|date=2010|publisher=Oxford University Press|isbn=9780199237180|edition=2nd|location=Oxford|oclc=740446073|pages=72}}</ref>
* Ретракт проективного об'єкта є проективним.<ref>{{Cite book|url=https://www.worldcat.org/oclc/740446073|title=Category theory|last=Awodey|first=Steve|date=2010|publisher=Oxford University Press|isbn=9780199237180|edition=2nd|location=Oxford|oclc=740446073|pages=33}}</ref>

==Достатньо проективних об'єктів==
Нехай <math>\mathcal{A}</math> — [[абелева категорія]]. Кажуть, що <math>\mathcal{A}</math> має '''достатньо проективних об'єктів''' якщо для кожного об'єкта <math>A</math> у <math>\mathcal{A}</math> існує проективний об'єкт <math>P</math> у <math>\mathcal{A}</math> і [[точна послідовність]]

:<math>P \longrightarrow \longrightarrow 0.</math>

Іншими словами <math>p\colon P \to A</math> є [[епіморфізм]]ом.

==Приклади==
* Твердження про те, що всі множини є проективними об'єктами є еквівалентним [[аксіома вибору|аксіомі вибору]].

* Проективний об'єктами у категорії абелевих груп є вільні абелеві групи.

* Нехай <math>R</math> — [[кільце (алгебра)|кільце]] з 1. Розглянемо (абелеву) категорію лівих <math>R</math>-модулів <math>\mathcal{M}_R</math>. Проективними об'єктами у <math>\mathcal{M}_R</math> є [[проективний модуль|проективні ліві R-модулі]]. Зокрема <math>R</math> є проективним об'єктом у <math>\mathcal{M}_R.</math> 

* Категорія лівих (правих) <math>R</math>-модулів має достатньо проективних об'єктів. Це випливає з того, що для кожного лівого (правого) <math>R</math>-модуля <math>M</math>, можна взяти вільний (а відтак проективний) <math>R</math>-модуль <math>F</math> породжений елементами <math>M</math> і канонічна проекція <math>\pi\colon F\to M</math> буде необхідним сюр'єктивним відображенням.

== Примітки ==
{{reflist}}

== Див. також ==
*[[Ін'єктивний об'єкт]]
*[[Проективний модуль]]

[[Категорія:Гомологічна алгебра]]
[[Категорія:Теорія категорій]]