Перегляд вихідного коду сторінки Розподіл Пуассона

{{Розподіл ймовірностей|
  name       =Пуассона|
  type       =pmf|
  pdf_image  =[[Файл:Poisson pmf.svg|300px|Plot of the Poisson PMF]]<br />На горизонтальній осі відкладено значення параметру ''k''. Функцію визначено лише для цілих ''k''. Лінії між точками лише для зручності перегляду.|
 cdf_image  =[[Файл:PoissonCDF.png|300px|Plot of the Poisson CDF]]<br />На горизонтальній осі відкладено значення параметру ''k''. |
  parameters =<math>\lambda \in [0,\infty)</math>|
  support    =<math>k \in \{0,1,2,\ldots\}</math>|
  pdf        =<math>\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\!</math>|
  cdf        =<math>\frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor, \lambda)}{\lfloor k\rfloor !}\!\text{ for }k\ge 0</math> 
(де <math>\Gamma(x, y)</math> це [[неповна гамма функція]] та <math>\lfloor k\rfloor</math> це [[ціла частина]])|
  mean       =<math>\lambda</math>|
  median     =зазвичай приблизно <math>\lfloor\lambda+1/3-0.02/\lambda\rfloor</math>|
  mode       =<math>\lfloor\lambda\rfloor</math> та <math>\lambda-1</math> якщо <math>\lambda</math> - [[цілі числа|ціле]] |
  variance   =<math>\lambda</math>|
  skewness   =<math>\lambda^{-1/2}\,</math>|
  kurtosis   =<math>\lambda^{-1}\,</math>|
  entropy    =<math>\lambda[1\!-\!\log(\lambda)]\!+\!e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\log(k!)}{k!}</math>
(для великих <math>\lambda</math>)<math>\frac{1}{2}\log(2 \pi e \lambda) - \frac{1}{12 \lambda} - \frac{1}{24 \lambda^2} -</math><br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math> \frac{19}{360 \lambda^3} + O\left(\frac{1}{\lambda^4}\right)</math><!--formula split with &nbsp; spaces-->
|
  mgf        =<math>\exp(\lambda (e^t-1))\,</math>|
  char       =<math>\exp(\lambda (e^{it}-1))\,</math>
}}

'''Пуассо́нівський розпо́діл'''&nbsp;— один з [[Розподіл ймовірностей|розподілів ймовірностей]]. Цей розподіл названо на честь французького вченого [[Пуассон Сімеон-Дені|Сімеона Дені Пуассона]]. [[Випадкова величина]] X називається розподіленою за законом Пуассона (або, що те саме, має пуассонівський розподіл) з параметром λ, якщо для неї виконується рівність: 
{{NumBlk|:|<math>Pr(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!} \,e^{-\lambda}</math>, <math>k \in \mathbb{N}_0.</math>|{{EquationRef|1}}}}

== Популярне пояснення ==

Пуассонівський розподіл справедливий для подій, які мають малу ймовірність чи трапляються нечасто. Ним, наприклад, можна описати ймовірність того, що [[футбол]]іст заб'є гол у конкретному матчі. Іноді футболіст забиває один гол, рідше два, ще рідше робить хет-трик, [[Пеле]] одного разу забив вісім.
Найчастіше футболіст не забиває жодного.

Ймовірність забити k голів за гру визначається параметром λ, що є середньою кількістю голів, які забиває футболіст. Якщо λ велике число,
то ймовірність має досягати максимуму при якомусь k. В такому разі йдеться радше про [[баскетбол]]іста, який може набирати, наприклад, 22 очка за гру в середньому. Тоді ймовірність набрати 2 очка буде малою. Ймовірність набрати 42 очка теж буде малою, а максимум ймовірності буде в районі саме 22 очок.

== Історія ==
Розподіл вперше було введено [[Пуассон Сімеон-Дені|Пуассоном]] (1781-1840) і опубліковано разом із його теорією ймовірності, в 1837 році у своїй роботі ''Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile'' ( «Дослідження ймовірності судових рішень в кримінальних і цивільних справах "). Робота теоретизувала кількість несправедливих засуджень в тій чи іншій країні, зосередивши увагу на деяких [[Випадкова величина|випадкових величинах]] N, що рахувало число дискретних явищ (іноді звані «події»), які мають місце на заданому інтервалі часу на інтервалі заданої довжини. Раніше результат дав [[Абрахам де Муавр]] (1711) в ''De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus'' у Філософських Працях Королівського Товариства. Це є прикладом [[Закон Стіглера|закона Стіглера]] і це спонукало деяких авторів стверджувати, що розподіл Пуассона повинен носити ім'я де Муавра.

Практичне застосування цього розподілу було зроблено Ладіславом Борткевичем в 1898 році, коли йому було дано завдання дослідити число солдатів прусської армії,яких випадково забили коні ногами; цей експеримент ввів розподіл Пуассона в область [[Надійність|надійності техніки]]. 

== Визначення ==
Дискретна [[Випадкова величина|випадкова величина]] Х має розподіл Пуассона з параметром λ> 0, якщо при ''k'' = 0, 1, 2... [[Функція ймовірностей|функція ймовірності]] X визначається за формулою:

<math>\!f(k;\lambda )=\Pr(X=k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},</math>
де:
*''е''- це [[e (число)|число Ейлера]] (е = 2,71828 ...)
*''k!'' - це [[факторіал]] ''k''.

Додатне [[Дійсні числа|дійсне число]] λ дорівнює [[Математичне сподівання|математичному сподіванню]] X, а також її [[Дисперсія випадкової величини|дисперсії]]

<math>\lambda =\operatorname{E}(X)=\operatorname{Var}(X).</math>

Розподіл Пуассона може бути застосований до систем з великим числом можливих подій, кожне з яких рідко зустрічається. Скільки таких подій відбуватиметься протягом фіксованого проміжку часу? При правильних обставинах, це випадкове число з розподілом Пуассона.

Традиційне визначення розподілу Пуассона містить два додатки, які можуть легко заповнюватися комп'ютером: ''ʎ^k'' і ''k!''. Але їх ділення може також призвести до помилки округлення, яка дуже велика в порівнянні з ''е^-ʎ'', і, отже, дати помилковий результат. Для стабільності функція ймовірності за Пуассоном повинна бути оцінена як

<math>\!f(k;\lambda )=\exp\left\{{k\ln\lambda-\lambda-\ln\Gamma(k+1)}\right\},</math>

що математично еквівалентне, але є стабільнішим.

== Властивості ==
=== Середнє значення ===

*[[Математичне сподівання]] і [[дисперсія]] розподіленої випадкової величини Пуассоном дорівнює λ.
*[[Коефіцієнт варіації|Коефіцієнтом варіації]] є <math>\lambda ^{-1/2}</math>, в той час коли [[індекс дисперсії]] дорівнює 1.
*Середнє абсолютне відхилення від середнього значення: 
<math>\operatorname {E} |X-\lambda |=2\exp(-\lambda ){\frac {\lambda ^{\lfloor \lambda \rfloor +1}}{\lfloor \lambda \rfloor !}}.</math>

*Всі напівінваріанти розподілу Пуассона дорівнюють математичному сподіванню Х. 
*[[Математичне сподівання]] [[Пуассонівський процес|пуассонівського процесу]] іноді розкладається в добуток інтенсивності і експозиції (або в більш загальному плані виражається у вигляді інтеграла від "функції інтенсивності"). 

=== Медіана === 
Оцінки для медіан (v) розподілу відомі і чіткі: 

<math>\lambda -\ln 2\leq \nu <\lambda +{\frac {1}{3}}.</math>

=== Вищі моменти ===
 
Вищі моменти розподілу Пуассона є многочлени Тушара λ:

<math>m_{k}=\sum _{i=1}^{k}\lambda ^{i}\left\{{\begin{matrix}k\\i\end{matrix}}\right\},</math>

де {фігурні дужки} позначають [[Числа Стірлінга другого роду|числа Стірлінга другого роду]]. Коефіцієнти поліномів мають [[Комбінаторика|комбінаторний]] сенс. Насправді, коли математичне сподівання розподілу Пуассона дорівнює 1, то формула Добіньського каже, що n-ий момент дорівнює числу [[розбиття множини]] обсягом ''n''.  

=== Суми розподілених випадкових величин Пуассоном===

Якщо <math>X_{i}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{i})\,i=1,\dotsc ,n </math> є [[Незалежність (теорія ймовірностей)|незалежними]] та <math>\lambda =\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}</math>, тоді <math>Y=\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)\sim \operatorname {Pois} (\lambda )</math>.  Є і протилежне твердження [[Теорема Райкова|теореми Райкова]], в якому говориться, що якщо сума двох незалежних випадкових величин розподілених Пуассоном, то і кожен з цих двох незалежних випадкових величин є розподіленим так.

=== Інші властивості ===
*Розподіл Пуассоном - це [[безмежно подільний розподіл]].
*Спрямована [[відстань Кульбака — Лейблера]] Pois(λ0) від Pois(λ) задається
<math> D_{\text{KL}}(\lambda \mid \lambda _{0})=\lambda _{0}-\lambda +\lambda \log {\frac {\lambda }{\lambda _{0}}.}</math>

*Межі для хвостових ймовірностей випадкової величини Пуассона <math>X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )</math> можуть бути отримані за допомогою аргументу [[Нерівність Чернова|нерівності Чернова]].
<math>P(X\geq x)\leq {\frac {e^{-\lambda }(e\lambda )^{x}}{x^{x}}},{\text{ for }}x>\lambda ,</math>
<math>P(X\leq x)\leq {\frac {e^{-\lambda }(e\lambda )^{x}}{x^{x}}},{\text{ for }}x<\lambda .</math>

*[[Рекурентне співвідношення]]:
<math>\left\{{\begin{array}{l}(k+1)f(k+1)-\lambda f(k)=0,\\[10pt]f(0)=e^{-\lambda }\end{array}}\right\}</math>

=== Стрибки значень Пуассона ===

Нехай <math>X\sim \operatorname {Poi} (\lambda )</math> та <math>Y\sim \operatorname {Poi} (\mu )</math> незалежні випадкові величини, з <math>\lambda <\mu ,</math> тоді ми маємо

<math>{\frac {e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}}{(\lambda +\mu )^{2}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{2{\sqrt {\lambda \mu }}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{4\lambda \mu }}\leq P(X-Y\geq 0)\leq e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}</math>

Верхня межа доводиться за допомогою стандартної [[Нерівність Чернова|нерівності Чернова]].

Нижню межу можна довести, зазначивши, що <math> P(X-Y\geq 0\mid X+Y=i)</math> є ймовірністю того, що <math>Z\geq {\frac {i}{2}},</math>, де <math>Z\sim \operatorname {Bin} \left(i,{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right), </math> яка обмежена знизу <math> {\frac {1}{(i+1)^{2}}}e^{\left(2D\left(0.5\|{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right)\right)},</math> де <math>D</math> - це [[відстань Кульбака — Лейблера]]. Відзначаючи далі, що <math>X+Y\sim \operatorname {Poi} (\lambda +\mu ),</math> обчислення нижньої межі на безумовній ймовірності дає результат.

== Доведення ==
Дослідимо поведінку <math>P_n(0) = q^n = (1 - p)^n </math> за умов теореми Пуассона. За формулою Тейлора при <math>0 \le p < 1</math>
:<math>\ln(1 - p) = -p - \frac{p^2}{2} (1 - \theta)^2, 0 \le \theta \le p,</math>
звідки
{{NumBlk|:|<math>-p(1 + p) \le \ln(1 - p) \le -p, 0 \le p < 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}</math>|{{EquationRef|2}}}}
Експонуванням ({{EquationNote|2}}), помноженого на <math>n</math>, отримуємо нерівність
{{NumBlk|:|<math>e^{-np(1+p)}\le P_n(0)\le\exp(-np), \qquad p<1-\frac{1}{\sqrt{2}}.</math>|{{EquationRef|3}}}}
Дослідимо тепер поведінку множників правої частини формули Бернуллі. При <math>n \to \infty</math>
{{NumBlk|:|<math>{n\choose m}=\frac{n!}{m!\;(n-m)!}=\frac{1}{m!}n(n-1)...(n-m+1)=\frac{1}{m!}n^m(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{m-1}{n})=\frac{1}{m!}n^m(1+\alpha), \alpha \to 0.</math>|{{EquationRef|4}}}}
Оскільки <math>np = \lambda(1+\beta), \beta \to 0,</math>
{{NumBlk|:|<math>p^m=\frac{\lambda^m}{n^m}(1+\beta)^m.</math>|{{EquationRef|5}}}}
З нерівності ({{EquationNote|3}}) отримуємо
{{NumBlk|:|<math>\exp \{-\lambda(1+\beta)(1+\lambda(1+\beta)\}\le q^n \le \exp\{-\lambda(1+\beta)\}.</math>|{{EquationRef|6}}}}
Оскільки <math>\beta \to 0, n \to \infty</math> то показники експонент в ({{EquationNote|6}}) прямують до <math>-\lambda.</math> А з неперервності експоненціальної функції маємо
{{NumBlk|:|<math>q^n = e^{-\lambda}+\gamma, \gamma \to 0.</math>|{{EquationRef|7}}}}
Нарешті,
{{NumBlk|:|<math>q^{-m}=\left(1-\frac{\lambda}{n}(1+\beta)\right)^{-m}=1+\delta, \delta \to 0.</math>|{{EquationRef|8}}}}
Перемноживши ({{EquationNote|4}}), ({{EquationNote|5}}), ({{EquationNote|7}}) і ({{EquationNote|8}}) i перейшовши до границі, отримаємо формулу Пуассона ({{EquationNote|1}}).

== Двовимірний розподіл Пуассона ==

Такий розподіл було поширено у двовимірному випадку. Функція для цього розподілу така:

<math>g(u,v)=\exp[(\theta _{1}-\theta _{12})(u-1)+(\theta _{2}-\theta _{12})(v-1)+\theta _{12}(uv-1)</math>

при

<math>\theta _{1},\theta _{2}>\theta _{12}>0\,</math>

Маргінальним розподілом є Пуассон(θ<sub>1</sub>) і Пуассон(θ<sub>2</sub>), а коефіцієнт кореляції обмежується діапазоном

<math>0\leq \rho \leq \min \left\{{\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}},{\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}\right\}</math>

Простий спосіб для генерації двовимірного розподілу Пуассона <math>X_{1},X_{2}</math>: взяти три незалежні розподіли Пуассона <math>Y_{1},Y_{2},Y_{3}</math> зі значеннями <math>\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}</math> і потім встановити <math>X_{1}=Y_{1}+Y_{3},X_{2}=Y_{2}+Y_{3}.</math>. Функція ймовірності двомірного розподілу Пуассона така:

<math>{\begin{aligned}&\Pr(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2})\\={}&\exp \left(-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}\right){\frac {\lambda _{1}^{k_{1}}}{k_{1}!}}{\frac {\lambda _{2}^{k_{2}}}{k_{2}!}}\sum _{k=0}^{\min(k_{1},k_{2})}{\binom {k_{1}}{k}}{\binom {k_{2}}{k}}k!\left({\frac {\lambda _{3}}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}\right)^{k}\end{aligned}}</math>

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Пуассон Сімеон-Дені]]
* [[Розподіл Бернуллі]]
* [[Розподіл ймовірностей]]
* [[Схема Бернуллі]]
* [[Теорема Пуассона]]
* [[Пуассонівський процес]]
* [[Індекс дисперсії]]

{{Список розподілів ймовірності}}
{{Без джерел|дата=листопад 2008}}
{{Math-stub}}

[[Категорія:Спряжені апріорні розподіли|Пуассона]]
[[Категорія:Факторіальні та біноміальні теми]]
[[Категорія:Безмежно подільні розподіли ймовірності|Пуассона]]