Перегляд вихідного коду сторінки Розподіл хі-квадрат

{{Розподіл ймовірностей
| name =Хі-квадрат
| type       = Щільність
| pdf_image  = [[Файл:Chi-square distributionPDF.png|300пкс|k — кількість ступенів вільності]]
| cdf_image  = [[Файл:Chi-square_distributionCDF.png|300пкс|k — кількість ступенів вільності]]
| notation   = <math>\chi^2(k)\!</math> or <math>\chi^2_k\!</math>
| parameters = <math>k\in N_1</math> — ступенів свободи
| support    = <math>x \in [0, +\infty)</math>
| pdf        = <math>\frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\; x^{k/2-1} e^{-x/2}\,</math>
| cdf        = <math>\frac{1}{\Gamma(k/2)}\;\gamma(k/2,\,x/2)</math>
| mean       = ''k''
| median     = <math>\approx k\bigg(1-\frac{2}{9k}\bigg)^3</math>
| mode       = max{ ''k'' − 2, 0 }
| variance   = 2''k''
| skewness   = <math>\scriptstyle\sqrt{8/k}\,</math>
| kurtosis   = 12 / ''k''
| entropy    = <math>\frac{k}{2}\!+\!\ln(2\Gamma(k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi(k/2)</math>
| mgf        = {{nowrap|(1 − 2 ''t'')<sup>−''k''/2</sup>}} &nbsp; for  t  < ½
| char       = {{nowrap|(1 − 2 ''i'' ''t'')<sup>−''k''/2</sup>}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<ref>{{cite web|url=http://www.planetmathematics.com/CentralChiDistr.pdf|title=Characteristic function of the central chi-square distribution|author=M.A. Sanders|accessdate=2009-03-06|archiveurl=https://www.webcitation.org/6HvPkQN5B?url=http://www.planetmathematics.com/CentralChiDistr.pdf|archivedate=2013-07-07|deadurl=yes}}{{ref-en}}</ref>
  }}

'''Розподіл хі-квадрат ({{nowrap|1=<span style="font-family:serif">''χ''</span>²-розподіл}})''' з 'n' ступенями вільності — неперервний розподіл, що визначається як розподіл суми квадратів 'n' [[незалежність (імовірність)|незалежних]] [[випадкова величина|випадкових величин]] з [[нормальний розподіл|стандартним нормальним розподілом]]. Тобто якщо '''ξ<sub>1</sub>, ..., ξ<sub>n</sub>''' — незалежні стандартні нормальні випадкові величини, то випадкова величина '''X<sub>n</sub><sup>2</sup>=ξ<sub>1</sub><sup>2</sup>+...+ξ<sub>n</sub><sup>2</sup>''' матиме розподіл хі-квадрат з 'n' ступенями вільності.

Розподіл хі-квадрат є одним з найважливіших у [[математична статистика|статистиці]]. Зокрема він використовується у критеріях хі-квадрат (наприклад [[критерій узгодженості Пірсона|критерії узгодженості Пірсона]]). 

Розподіл хі-квадрат є частковим випадком [[гамма-розподіл|гамма-розподілу]].

== Вступ ==

Ланкастер<ref name="Lancaster1969">{{Citation
|last=Lancaster
|first=H.O.
|title=The Chi-squared Distribution
|year=1969
|publisher=Wiley
}}</ref>
показав зв'язок між [[Біноміальний розподіл|біноміальним]], [[Нормальний розподіл|нормальним]] і хі-квадрат розподілами, як показано нижче. [[Де Муавр Абрахам|Де Муавр]] і [[Лаплас]] встановили, що біноміальний розподіл можна наблизити через нормальний розподіл. Точніше вони показали асимптотичну нормальність випадкової величини

: <math> \chi = {m - Np \over \sqrt{(Npq)}}, </math>

де ''m''&nbsp;— це спостережена кількість успіхів в ''N'' спробах, де ймовірність успіху ''p'', а ''q'' = 1 − ''p''.

Підносимо до квадрату обидві частини рівняння

: <math> \chi^2 = {(m - Np)^2\over (Npq)} </math>

Використовуючи ''N'' = ''Np'' + ''N''(1 − ''p''), ''N'' = ''m'' + (''N'' − ''m''), та ''q'' = 1 − ''p'', це рівняння спрощується до

: <math> \chi^2 = {(m - Np)^2\over (Np)} + {((N - m) - Nq)^2\over (Nq)} </math>

Вираз праворуч має форму яку Пірсон узагальнив до:

: <math> \chi^2 = \sum_{i=1}^n \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i},</math>
де
: <math> \chi^2</math>&nbsp;— кумулятивна тестова статистика Пірсона, яка асимптотично наближується до <math>\chi^2</math> розподілу.
: <math>O_i</math>&nbsp;— кількість спостережень типу ''i''.
: <math>E_i - N p_i</math>&nbsp;— очікувана (теоретична) частота типу ''i'', згідно з нульовою гіпотезою, яка стверджує, що частка типу ''i'' в популяції становить <math>p_i</math>
: <math>n</math>&nbsp;— кількість комірок в таблиці.

У випадку біноміального виходу (підкидання монети), біноміальний розподіл можна апроксимувати через нормальний (для досить великих n). З того, що квадрат нормального розподілу&nbsp;— це розподіл хі-квадрат з одним ступенем вільності, ймовірність результату як-от 1 аверс з 10 спроб, можна апроксимувати через нормальний розподіл чи розподіл хі-квадрат. Однак, багато задач потребують більше ніж два виходи як у біноміальному випадку, натомість вони потребують 3 або більше категорій, що призводить до поліноміального розподілу. Просто де Муавр і Лаплас шукали і знайшли нормальне наближення до біноміального, Пірсон шукав і знайшов багатовимірне нормальне наближення до поліноміального розподілу. Пірсон показав, що розподіл хі-квадрат, сума багатьох нормальних розподілів, був таким наближенням до поліноміального розподілу.<ref name="Lancaster1969" />

== Розподіл хі-квадрат ==
=== Щільність імовірності ===
Розподіл хі-квадрат зосереджений на додатній півосі і має [[щільність імовірності|щільність]]:

:<math>P_{x^2}(n)(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{if }x<0 \\ \frac{1}{\Gamma(n/2)2^{n/2}}x^{n/2-1}e^{-x/2}, & \mbox{if }x \ge \ 0 \end{cases}</math>,
  
де <math>\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty} t^{\alpha -1}e^{-t}\, dt</math> — [[гамма-функція]].

=== Функція розподілу ===
[[Функція розподілу]] хі-квадрат розподілу записується
:<math>\frac{1}{\Gamma(k/2)}\;\gamma(k/2,\,x/2)</math>
При n>+2 χ<sup>2</sup>-розподіл має [[мода (статистика)|моду]] в точці x = n - 2. [[Характеристична функція випадкової величини|Характеристична функція]] χ<sup>2</sup>-розподілу має вигляд f(t)=(1-2it)<sup>-n/2</sup>. <br />[[Математичне сподівання]] і [[дисперсія]] розподілу хі-квадрат рівні, відповідно, n і 2n.

== Властивості χ<sup>2</sup>-розподілу ==
* Розподіл хі-квадрат є стійким відносно додавання. Якщо Y<sub>1</sub>, Y<sub>2</sub>  незалежні, і <math>Y_1  \sim  \chi^2(n_1),  Y_2  \sim  \chi^2(n_2)\,</math>, то <math>Y_1+Y_2  \sim  \chi^2(n_1+n_2)\,</math>
* З визначення легко отримати [[моменти випадкової величини|моменти розподілу]] хі-квадрат. Якщо <math>Y  \sim  \chi^2(n)</math> то <math>E[Y]=n D[Y]=2n</math>  <br /> .
* Через [[центральна гранична теорема|центральну граничну теорему]], при великому числі ступенів вільності розподіл випадкової величини <math>Y  \sim  \chi^2(n)</math>  може бути наближене нормальним <math>Y \approx N(n,2n)</math>. Точніше <math>\frac {Y-n}{\sqrt{2n}} \to N(0,1)</math> по розподілу при  <math>n \to \infty</math>.

== Додаток ==
Сума незалежних випадкових величин '''X<sub>n<sub>1</sub></sub><sup>2</sup>+...+X<sub>n<sub>k</sub></sub><sup>2</sup> з n<sub>1</sub>, n<sub>2</sub> ..., n<sub>k</sub>''' ступенями вільності, відповідно, підкоряється хі-квадрат розподілу з '''n = n<sub>1</sub> + n<sub>2</sub> + ... + n<sub>k</sub>''' ступенями вільності. Завдяки тісному зв'язку з нормальним розподілом χ<sup>2</sup>-розподіл відіграє важливу роль в [[теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]] і математичній статистиці. '''χ<sup>2</sup>'''-розподіл, і багато інших розподілів, які визначаються за допомогою '''χ<sup>2</sup>'''-розподілу (наприклад&nbsp;— [[розподіл Стьюдента]]), описують вибіркові розподіли різних функцій від нормально розподілених результатів спостережень і використовуються для побудови [[довірчий інтервал|довірчих інтервалів]] і [[статистичний критерій|статистичних критеріїв]]. 

Так, наприклад, для незалежних випадкових величин '''x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> ..., x<sub>n</sub>''' з однаковим нормальним розподілом з [[математичне сподівання|математичним сподіванням]] а і [[дисперсія|дисперсією]] '''δ<sup>2</sup>''' відношення s'''<sup>2</sup>/δ<sup>2</sup>''' ,<br /> де <math>s=\sqrt \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-x_{cp})^2}{n-1}</math>, <math>x_{cp}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}</math>
<br /> підкоряється '''χ<sup>2</sup>'''-розподілу з '''n - 1''' ступенями вільності при будь-яких значеннях '''а''' і '''δ2'''. Цей результат покладений в основу побудови довірчих інтервалів і критерію для перевірки гіпотези про невідоме значення дисперсії у разі, коли середнє значення випадкової величини також невідоме (перевірка статистичних гіпотез і [[Інтервальна оцінка|інтервальна]] [[статистична оцінка]]).

Особливу популярність у зв'язку з хі-квадрат розподілом отримав [[критерій узгодженості Пірсона|критерій хі-квадрат]], заснований на так званій хі-квадрат статистиці Пірсона. Є детальні таблиці '''χ<sup>2</sup>'''-розподілу, зручні для статистичних розрахунків. При великих обсягах вибірок використовують апроксимацію за допомогою нормального розподілу. При <math>n \to \infty</math>, згідно з [[центральна гранична теорема|центральною граничною теоремою]], розподіл нормальної величини  прагне до нормального розподілу. 

Вперше '''χ<sup>2</sup>'''-розподіл було розглянуто Р.Хельмертом (1876) і [[Карл Пірсон|Карлом Пірсоном]] (1900).

== Посилання ==
* William G. Cochran, Annals Math. Stat. 23 (1952), 315-345
{{reflist}}
{{Список розподілів ймовірності}}

[[Категорія:Неперервні розподіли|хі-квадрат]]
[[Категорія:Нормальний розподіл|хі-квадрат]]
[[Категорія:Розподіли експоненційного сімейства|хі-квадрат]]
[[Категорія:Безмежно подільні розподіли ймовірності|хі-квадрат]]