Перегляд вихідного коду сторінки Ряд Діріхле

'''Рядом Діріхле''' називається [[ряд (математика)|ряд]] виду

: <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s},</math>

де ''s'' і ''a''<sub>''n''</sub>&nbsp;— [[комплексне число|комплексні числа]], ''n'' = 1, 2, 3, … .

'''Абсцисою збіжності''' ряду Діріхле називається таке число <math>\sigma_c</math>, що при <math>\operatorname{Re},s>\sigma_c</math> він збігається; '''абсцисою абсолютної збіжності''' називається таке число <math>\sigma_a</math>, що при <math>\operatorname{Re},s>\sigma_a</math> ряд [[Абсолютна збіжність|абсолютно збіжним]]. Для будь-якого ряду Діріхле справедливе співвідношення <math>0\leqslant\sigma_a-\sigma_c\leqslant 1</math> (якщо <math>\sigma_c</math> і <math>\sigma_a</math> скінченні).

Цей ряд відіграє значну роль в [[теорія чисел|теорії чисел]]. Найпоширенішим прикладом ряду Діріхле є [[дзета-функція Рімана]], а також [[L-функція Діріхле]].
Ряд названий в честь [[Діріхле|Густава Діріхле]].

== Приклади ==

: <math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s},</math>

Де ''ζ(s)''&nbsp;— [[дзета-функція Рімана]].

: <math>\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}</math>

де ''μ(n)''&nbsp;— [[функція Мебіуса]].

: <math>\frac{1}{L(\chi,s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)\chi(n)}{n^s}</math>

де ''L(χ,s)''&nbsp;— [[L-функція Діріхле]].

== Похідні ==
Нехай

: <math>F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}</math>
Тоді можна довести

: <math>F'(s) =-\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\log(n)}{n^s}</math>

у випадку збіжності правої сторони. Для цілком мультиплікативної функції ƒ(''n''), у випадку збіжності для Re(''s'')&nbsp;>&nbsp;σ<sub>0</sub>, тоді

: <math>\frac {F^\prime(s)}{F(s)} = - \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\Lambda(n)}{n^s}</math>

збігається для Re(''s'')&nbsp;>&nbsp;σ<sub>0</sub>. В даній формулі, <math>\scriptstyle\Lambda(n)</math> позначає [[функція фон Мангольдта|функцію фон Мангольдта]].

== Добуток рядів ==
Нехай маємо ряди

: <math> F(s)= \sum_{n=1}^{\infty} f(n)n^{-s} </math>

і

: <math> G(s)= \sum_{n=1}^{\infty} g(n)n^{-s}. </math>

Якщо ''F''(''s'') і ''G''(''s'') є абсолютно збіжними для ''s'' > ''a'' і ''s'' > ''b'' відповідно, тоді:

: <math> \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\,F(a+it)G(b-it)\,dt= \sum_{n=1}^{\infty} f(n)g(n)n^{-a-b} \text{ as }T \sim \infty. </math>

Якщо ''a'' = ''b'' і ƒ(''n'') = ''g''(''n'') то

: <math> \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|F(a+it)|^{2} dt= \sum_{n=1}^{\infty} [f(n)]^{2}n^{-2a} \text{ as } T \sim \infty. </math>

== Див. також ==
* [[Список об'єктів, названих на честь Діріхле]]

== Література ==
* Мандельбройт С. Ряды Дирихле,&nbsp;— М.: Мир, 1973
* Tom M. Apostol (1989), Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97127-8

[[Категорія:Аналітична теорія чисел]]