Перегляд вихідного коду сторінки Ряд Лорана

[[Файл:Laurent series.svg|frame|right|Розклад в ряд Лорана можливий у деякому скінченому кільці, з центром в точці ''c''. Шлях інтегрування γ обирається з кільця, і від вибору того чи іншого шляху інтегрування у фіксованому кільці коефіцієнти розкладу не змінюються.]]

'''Ряд Лорана'''&nbsp;— розклад [[комплексна функція|комплексної функції]] ''f''(''z'') у двосторонній [[степеневий ряд]], що також містить доданки від'ємного степеня. Використовується для вираження комплексної функції у випадках, коли розклад в [[ряд Тейлора]] не може бути використаним. Ряди Лорана названі на честь [[П'єр Альфонс Лоран|П'єра Альфонса Лорана]], що вперше опублікував свої дослідження цих рядів у [[1843]] році. [[Вейєрштрасс Карл|Карл Вейєрштрасс]], можливо, використовував ці ряди ще у [[1841]] році, але не опублікував своїх результатів.

Для комплексної функції ''f''(''z''), [[аналітична функція|аналітичної]] у скінченому [[кільце|кільці]] з центром в точці ''c'', в довільній точці кільця виконується:

:<math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n</math>

де члени ряду ''a<sub>n</sub>'' визначаються за формулою:

:<math>a_n=\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}.\,</math>

Шлях інтегрування γ є довільним замкненим [[контур]]ом, що лежить в кільці і містить точку ''с''.

== Властивості ==

* '''Головною частиною''' ряду Лорана називаються члени з від'ємними степенями:

::<math>\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}{(z-a)^{(-n)}}</math>

* '''Правильною частиною''' (Тейлорівською частиною) ряду Лорана називаються члени з невід'ємними степенями:

::<math>\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n</math>

* Якщо ряд Лорана збігається, то його внутрішність області збіжності є кільцем:

:: <math>D= \{z\in\mathbb C|r<|z-a|<R<\infty\}</math>

* В своємі кільці збіжності <math>D</math> ряд Лорана збігається [[абсолютна збіжність|абсолютно]].

* Функція ''f''(''z'') допускає ''єдиний розвиток'' в ряд Лорана в певній точці (якщо він існує).

== Теорема Лорана ==

Функція ''f''(''z'') [[однозначна функція|однозначна]] і [[аналітична функція|аналітична]] в скінченому кільці <math>D= \{z\in\mathbb C|r<|z-a|<R<\infty\}</math> в довільній точці цього кільця допускає розвинення в збіжний ряд Лорана.

Ряд Лорана є зручним інструментом для оцінки поведінки функції в околі ізольованої особливої точки. В залежності від головної частини ряду, особливу точку визначають як:

* ''усувна особлива точка'', якщо головна частина не містить ненульових членів;

* ''простий полюс'', якщо головна частина має скінчену кількість членів;

* ''істотньо особлива точка'', якщо головна частина має нескінчену кількість членів.

== Приклади ==

Знайти розклад в ряд Лорана в точці <math>z - i</math> функції

: <math>\frac{1}{z^2 + 1}.</math>

Спочатку відзначимо

: <math>\frac{1}{z^2 + 1} =\frac{1}{(z-i)(z+i)}.</math>

Далі,

:<math>\frac{1}{z + i} =  \frac{1} {2i + (z -i)}= -\frac{i} {2}\frac{1}{1-\frac{i}{2}(z - i)}.</math>

Останній дріб може бути розкладений у [[геометрична прогресія|геометричну прогресію]] відносно <math>z - i</math>,

:<math>\frac{1}{1-\frac{i}{2}(z - i)}=1+\frac{i}{2}(z - i)+\left(\frac{i}{2}(z - i)\right)^2+\left(\frac{i}{2}(z - i)\right)^3+\cdots</math>

Множимо прогресію на -i/2, і ділимо обидві частини на z - i:

: <math>\frac{1}{z^2 + 1}=-\left(\frac{i}{2}\right)\frac{1}{z-i}-\left(\frac{i}{2}\right)^2-\left(\frac{i}{2}\right)^3(z-i)-\left(\frac{i}{2}\right)^4(z-i)^2-\cdots</math>

Як другий приклад можна розкласти в ряд Лорана квадрат вищерозглянутої функції
:<math>\frac{1}{(z^2 + 1)^2}.</math>

Для цього необхідно піднести до квадрата отриману для попереднього прикладу прогресію. Зазвичай, піднесення до степеня нескінченної прогресії є складною операцією. Однак для обчислення перших <math>n</math> членів ряду Лорана, нам достатньо перемножити між собою перші <math>n</math> членів вихідної прогресії:

:<math>\frac{-1}{4(z - i)^2} - \frac{i}{4(z - i)} + \frac{3}{16}+\cdots</math>

[[Категорія:Комплексний аналіз]]
[[Категорія:Ряди та послідовності]]