Перегляд вихідного коду сторінки Рівняння Бюргерса

'''Рівнянням Бюргерса''' називають нелінійне диференціальне [[диференціальне рівняння з частинними похідними|рівняння в часткових похідних]], що використовується в [[гідродинаміка|гідродинаміці]]. Це рівняння відоме в різних областях [[прикладна математика|прикладної математики]]. Рівняння названо на честь [[Йоганнес Мартінус Бюргерс|Йоганнеса Мартінуса Бюргерса]] (1895—1981). Є окремим випадком [[Рівняння Нав'є — Стокса|рівнянь Нав'є&nbsp;— Стокса]] в одновимірному випадку. Нехай задана швидкість течії рідини''u''і її кінематична [[в'язкість]] <math> \nu </math>. Рівняння Бюргерса в загальному вигляді записується так:

: <math>\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math>.

де <math>u (x,t) </math> — невідома функція (густина газу чи рідини), <math> -\infty <x< +\infty  </math> - просторова кордината, <math> t \ge 0</math> — час, а <math> \nu</math> — в'язкість (параметр). Воно являє собою модельне рівняння при дослідженні [[хвиля|хвильових]] процесів в газодинаміці, гідродинаміці, акустиці і т. д. На рівняння Бюргерса як на найпростіше р-ня, що об'єднує типову нелінійність і теплову [[дифузія|дифузію]] (або [[в'язкість]]), вказав Й. Бюргерс (J. Burgers) в 1942 році, хоча воно фігурувало й раніше в роботах інших вчених, зокрема Г. Бейтмена (H. Bateman).  Виявлена Е. Хопфом (E. Hopf) і Дж. Коулом (J. Cole) в 1950 заміна  <math> u = - 2\nu \frac{\partial \ln \phi (x,t)}{\partial x} </math> дозволяє звести рівняння Бюргерса до [[рівняння теплопровідності]] для функції <math>\phi</math>.

: <math>\phi(x,t) = (4\pi\nu t)^{-1/2}\int^{+\infty}_{-\infty}d \eta e^{-F(x,\eta,t)/2\nu}</math>
: <math>F(x,\eta,t)=\int^{\eta}_{0}u_0(\xi)d\xi + (x-\eta)^2/2t</math>
З допомогою цієї формули можна детально прослідкувати як із гладких початкових умов утворюються і поширюються ударні хвилі у [[нелінійне середовище|нелінійному середовищі]], що описуються рівнянням <math>\frac{\partial v}{\partial t} + v \frac{\partial v}{\partial x}</math> якщо за розв'язок взяти границю "зчезаючої в'язкості" <math>v(x,t) = \lim_{v\rightarrow +0} u(x,t)</math>, і в початковий момент <math>v(x,0)=u(x,0)</math>,

== Джерела ==
* ''Физическая энциклопедия. Т.1.'' Гл.ред. А.М.Прохоров. М., Сов.энциклопедия, 1988.

[[Категорія:Гідродинаміка]]
[[Категорія:Диференціальні рівняння]]
[[Категорія:Нелінійні рівняння]]