Перегляд вихідного коду сторінки Середнє гармонійне

'''Середнє гармонійне''' (''також'' '''середнє гармонічне''')&nbsp;— один із видів усереднення, частковий випадок [[Середнє степеневе|середнього степеневого]] з індексом −1. За означенням середнє гармонійне ''H'' для ''n'' чисел ''x''<sub>1</sub>,&nbsp;''x''<sub>2</sub>,&nbsp;…,&nbsp;''x''<sub>''n''</sub>&nbsp;>&nbsp;0 дорівнює
: <math>H = \frac{n}{\frac1{x_1} + \frac1{x_2} + \cdots + \frac1{x_n}}.</math>

Наприклад, середнє гармонійне трьох чисел 1, 4 та 4 буде <math>\frac{3}{\frac1{1}+\frac1{4}+\frac1{4}} = \frac{3}{1.5} = 2\,.</math>

Поряд із [[Середнє арифметичне|середнім арифметичним]] та [[Середнє геометричне|середнім геометричним]] середнє гармонійне належить до так званих [[Піфагорові середні|піфагорових середніх]].

Необхідність сумування обернених величин часто виникає в фізиці та в інших областях застосування математики. Наприклад, [[зведена маса]], [[Електричний опір|опір]] паралельно сполучених опорів обчислюються за формулами, які відрізняються тільки множником ''n''.

== Визначення ==
Середнє гармонійне ''H'' додатних [[Дійсні числа|дійсних]] чисел <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> визначається як
: <math>H = \frac{n}{\frac1{x_1} + \frac1{x_2} + \cdots + \frac1{x_n}} = \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n \frac1{x_i}} = \left(\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i^{-1}}{n}\right)^{-1}.</math>

Третій вираз вказує на те, що середнє гармонійне є оберненим середнім арифметичним обернених чисел.

З формули
: <math>H = \frac{n\cdot \prod\limits_{j=1}^n x_j}{ \sum\limits_{i=1}^n \left\{\frac{1}{x_i}{\prod\limits_{j=1}^n x_j}\right\}}</math>

стає очевидним зв'язок з середнім арифметичним і геометричним. Середнє гармонійне є оберненим [[Дуальність|дуальним]] до середнього арифметичного для додатних чисел:
: <math>1/H(1/x_1, \ldots, 1/x_n) = A(x_1, \ldots, x_n).</math>

Середнє гармонійне є {{Нп|функція опукла за Шуром|функцією опуклою за Шуром||Schur-convex function}} і оцінюється за допомогою мінімуму аргументів. Тобто, для любих додатних аргументів <math>\min(x_1, \ldots, x_n) \leqslant H(x_1, \ldots, x_n) \leqslant n \min(x_1, \ldots, x_n)</math>. Отже, не можливо зробити середнє гармонійне скільки завгодно великим, якщо змінювати тільки деякі аргументи (принаймні один аргумент повинен залишатись незмінним).

== Відношення з іншими середніми ==
'''Середнє гармонійне'''&nbsp;— одне з трьох [[Піфагорові середні|піфагорових середніх]]. Для будь-якого додатного набору чисел, який містить принаймні два різних числа, гармонійне середнє завжди буде найменшим з цих трьох середніх.<ref>Da-Feng Xia, Sen-Lin Xu, and Feng Qi, «A proof of the arithmetic mean-geometric mean-harmonic mean inequalities», RGMIA Research Report Collection, vol. 2, no. 1, 1999, http://ajmaa.org/RGMIA/papers/v2n1/v2n1-10.pdf</ref> При цьому [[середнє арифметичне]] буде найбільшим з них, а [[середнє геометричне]] значення буде між цими двома. Рівність досягається, коли всі числа однакові.

: <math>{n \over {{1 \over a_1} + {1 \over a_2} + \ldots + {1 \over a_n}}} \leqslant \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n} \leqslant  \frac{1}{n} (x_1+\cdots+x_n).</math>

У частковому випадку ''M''<sub>−1</sub> [[Середнє степеневе|середнього степеневого]]:

: <math>H(x_1, x_2, \ldots, x_n) = M_{-1}(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \frac{n}{x_1^{-1} + x_2^{-1} + \cdots + x_n^{-1}}</math>

Оскільки середнє гармонійне наближається до найменших елементів заданих чисел, то, порівняно з середнім арифметичним, він суттєвіше зменшує вплив викидів з великими значеннями і посилює вплив малих чисел.

Середнє арифметичне часто '''помилково''' використовують там, де місце гармонійному середньому.<ref>*''Statistical Analysis'', Ya-lun Chou, Holt International, 1969, {{ISBN|0030730953}}</ref> В наведеному нижче [[#У фізиці|прикладі]] для швидкостей, середнє арифметичне 50 є неправильним і занадто великим.

Середнє гармонійне пов'язано з іншими Піфагоровими середніми, як видно у наведеному вище рівнянні. Можна інтерпретувати знаменник як середнє арифметичне ''n'' різних добутків ''n-1'' числа, у кожному з яких з ''n'' чисел було викинуто одне число з індексом ''j''. Тобто, перше число є добутком всіх з ''n'' чисел, окрім першого; друге число є добутком всіх з ''n'' чисел, окрім другого; і так далі. Таким чином середнє гармонійне пов'язане з середнім геометричним і арифметичним. Загальна формула подібності:

: <math>H(x_1, \ldots , x_n)= \frac{(G(x_1, \ldots , x_n))^n}{A(x_2x_3 \cdots x_n, x_1x_3 \cdots x_n, \ldots , x_1x_2 \cdots x_{n-1})} = \frac{(G(x_1, \ldots , x_n))^n}{A\left(\frac{1}{x_1}{\prod\limits_{i=1}^n x_i}, \frac{1}{x_2}{\prod\limits_{i=1}^n x_i}, \ldots , \frac{1}{x_n}{\prod\limits_{i=1}^n x_i}\right)} .</math>

== Середнє гармонійне двох і трьох чисел ==

=== Два числа ===
[[Файл:MathematicalMeans.svg|thumb|right|Геометрична побудова трьох [[Піфагорові середні|Піфагорових середніх]] двох чисел, ''a'' та ''b''. Гармонійне середнє означене як ''H'' пурпурним. ''Q'' означає четверте середнє, [[середнє квадратичне]]. Через те, що [[гіпотенуза]] завжди довше ніж [[катет]], діаграма показує, що ''Q'' > ''A'' > ''G'' > ''H''.]]

Для випадку тільки двох чисел, <math>x_1</math> та <math>x_2</math>, середнє гармонійне може бути записане наступним чином: <math>H = \frac{2x_1 x_2}{x_1 + x_2}.</math>

В цьому особливому випадку, середнє гармонійне відноситься до [[Середнє арифметичне|середнього арифметичного]] <math>A = \frac{x_1 + x_2}{2}</math> та [[Середнє геометричне|середнього геометричного]] <math>G = \sqrt{x_1 x_2},</math> наступним чином: <math>H = \frac{G^2}{A}=G\cdot\left(\frac{G}{A}\right).</math>

Через те, що <math>\tfrac{G}{A}\le1</math> за [[Нерівність середнього арифметичного та геометричного|нерівністю середнього арифметичного та геометричного]], показує, що у випадку ''n'' = 2, що ''H'' &le; ''G'' (хоча властивість, насправді виконується для всіх ''n''). Також слідує <math>G = \sqrt{AH}</math>, що означає, що середнє геометричне двох чисел дорівнює середньому геометричному їх середнього арифметичного та середнього гармонійного.

=== Три числа ===
Три додатні числа ''H'', ''G'', та ''A'' відповідно середні гармонійне, геометричне та арифметичне трьох додатних чисел [[тоді й лише тоді]]<ref name=Crux>''Inequalities proposed in «[[Crux Mathematicorum]]»'', [http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf].</ref>, коли має місце наступна нерівність: <math>\frac{A^3}{G^3}+\frac{G^3}{H^3}+1 \le \frac3{4} \left(1+\frac{A}{H}\right)^2.</math>

== Зважене середнє гармонійне ==
Якщо множина {{нп|Вагова функція|ваг||Weight function}} <math>w_1</math>, …, <math>w_n</math> пов'язана із множиною даних <math>x_1</math>, …, <math>x_n</math>, '''зважене середнє гармонійне''' визначається так:
: <math>\frac{\sum\limits_{i=1}^n w_i}{\sum\limits_{i=1}^n \frac{w_i}{x_i}}.</math>

Незважене середнє гармонійне можна розглядати як особливий випадок: коли всі ваги дорівнюють 1, або тотожно, коли всі ваги однакові.

== Приклади ==

=== У фізиці ===
У певних ситуаціях, особливо в багатьох ситуаціях, пов'язаних з {{не перекладено|Темп (математика)|темпом|en|Rate (mathematics) }} і [[Співвідношення|співвідношенням]], середнє гармонійне забезпечує найсправжніше [[середнє значення|середнє]]. Наприклад, якщо транспортний засіб проходить певну дистанцію ''d'' зі швидкістю ''x'' (наприклад, 60 кілометрів на годину&nbsp;— {{sfrac|км|год}}), а потім знову на тій же відстані зі швидкістю ''y'' (наприклад, 40 {{sfrac|км|год}}), то його середня швидкість є середнім гармонійним ''x'' і ''y'' (48 {{sfrac|км|год}}), і його загальний час проїзду такий самий, як якщо б вона пройшла всю відстань на цій середній швидкості. Це можна довести наступним чином<ref>https://learningpundits.com/module-view/48-averages/1-tips-on-averages/</ref>:

Середня швидкість за мандрівку = Пройдена Відстань/ Затрачений час
= 2d/ (d/x + d/y)
= 2d/ [(yd + xd)/xy]
= 2dxy/[d(x+y)]
= 2xy/ x+y (Середнє гармонійне x та y).

Однак, якщо транспортний засіб їде певну кількість ''часу'' зі швидкістю ''x'', а потім на таку ж кількість часу на швидкості ''y'', тоді його середня швидкість становить [[середнє арифметичне]] між ''x'' та ''y'', яке у прикладі вище становить 50 кілометрів на годину. Цей же принцип застосовується для більш ніж двох відрізків: коли ми маємо серію підпоїздок з різною швидкістю, якщо кожна підпоїзка охоплює ту саму ''відстань'', то середня швидкість є середнім ''гармонійним'' всіх швидкостей підпоїздок; і якщо кожна підпоїздка займає однакову кількість ''часу'', то середня швидкість&nbsp;— це середнє ''арифметичне'' значення всіх швидкостей підпоїздок. (Якщо жоден з описаних випадків не підходить, то необхідне [[Середнє_гармонійне#Середнє_гармонійне_зважене|середнє гармонійне зважене]] або [[Середнє_зважене|середнє арифметичне зважене]]. Для середнього арифметичного швидкість кожної частини поїздки зважене за її тривалістю, тоді як для середнього гармонійного відповідна вага&nbsp;— це відстань. В обох випадках отримана формула скорочується до ділення загальної відстані на загальний час)

Однак можна уникнути використання середнього гармонійного для випадку «зважування за відстанню». Поставте проблему як знаходження «повільності» поїздки, де «повільність» (у годинах на кілометр) є зворотнім до швидкості. Коли знайдено повільність поїздки, перегорніть її так, щоб знайти «справжню» середню швидкість поїздки. Для кожного відрізка поїздки ''i'', повільність ''s''<sub>i</sub> = 1/''швидкість''<sub>i</sub>. Потім візьміть зважене [[середнє арифметичне]] значення s <sub>i</sub> з вагою на їх відповідних відстанях (необов'язково з вагами, нормованими, таким чином вони підсумовуються до 1, розділяючи їх довжиною відправлення). Це дає справжню середню повільність (у часі на кілометр). Виявляється, ця процедура, яка може бути зроблена без знання гармонійного означає, дорівнює тим же математичним операціям, які можна було б використати для вирішення цієї проблеми за допомогою гармонійного середнього. Таким чином, це ілюструє, чому у даному випадку діє гармонійне значення.

Так само, якщо хочете оцінити щільність [[сплав]]у при даних щільностях його складових елементів та маси їх долей у складі(або аналогічно відсотки від загальної маси), то прогнозована щільність сплаву (якщо не враховувати типові малі зміни в об'ємі через пакувальні ефекти) буде дорівнювати середньому гармонійному зваженому окремих щільностей, зважених за масою, замість зваженого середнього арифметичного, як можна було подумати спочатку. Щоб використовувати зважене середнє арифметичне, щільності повинні бути зважені за об'ємом. Якщо застосувати [[Метод аналізу розмірностей|аналіз розмірностей]] до задачі, тобто позначати одиниці вимірювання маси для кожного елементу і переконатись, що скорочуються тільки маси відповідних за масою елементів, то все стане зрозуміло.

Якщо з'єднати два електричних [[резистор]]и паралельно, у одного з яких опір дорівнює ''x''(наприклад, 60 [[Ом|Ω]]), а у іншого ''y'' (наприклад, 40 Ω), то ефект буде такий самий, як при використанні двох резисторів з однаковим опором, рівним середньому гармонійному між ''х'' та ''у'' (48 Ω): повний опір в обох випадках дорівнює 24 Ω (половина середнього гармонійного). Цей же принцип можна застосувати до послідовних [[Електричний конденсатор|електричних конденсаторів]] або паралельних [[Котушка індуктивності|індукторів]].

Однак, якщо з'єднати резистори послідовно, то середній опір дорівнюватиме середньому арифметичному між ''x'' та ''y'' (з повним спротивом рівним сумі ''х'' та ''у''). Як і в попередньому прикладі, принцип застосовується і коли більше двох резисторів з'єднані, всі паралельно або всі послідовно.

[[Ефективна маса]] [[напівпровідник]]а теж визначається як середнє гармонійне ефективних мас трьох кристалографічних напрямків.<ref>http://ecee.colorado.edu/~bart/book/effmass.htm</ref>

=== У фінансах ===
Середньозважений параметр гармоніки&nbsp;— це переважний спосіб усереднення множників, таких як [[Коефіцієнт ціна/прибуток|коефіцієнт ціна / прибуток]] (P / E), в якому ціна в чисельнику. Якщо ці співвідношення усереднені з використанням середнього арифметичного зваженого (загальна помилка), то для більших елементів даних надається більша вага, ніж для менших. З іншого боку, середнє гармонійне зважене призначає однакову вагу для кожного елементу даних.<ref>{{cite book |chapter=Fairness Opinions: Common Errors and Omissions |title=The Handbook of Business Valuation and Intellectual Property Analysis |publisher=McGraw Hill |year=2004 |isbn=0-07-142967-0 }}</ref>
Просте середнє арифметичне зважене, коли застосовується до нецінових нормалізованих співвідношень, таких як P / E, зміщена у бік збільшення і не може бути чисельно обгрунтованим, оскільки воно базується на вирівняних прибутках; так само, як швидкість транспортних засобів не може бути усереднена для поїздки в обидва кінці.<ref>{{cite journal |title=Using the Price-to-Earnings Harmonic Mean to Improve Firm Valuation Estimates |first=Pankaj |last=Agrrawal |first2=Richard |last2=Borgman |first3=John M. |last3=Clark |first4=Robert |last4=Strong |journal=[[Journal of Financial Education]] |volume=36 |year=2010 |issue=3–4 |pages=98–110 |jstor=41948650 |ssrn=2621087 }}</ref>

Наприклад, розглянемо дві фірми, одна з яких має [[Ринкова капіталізація|ринкову капіталізацію]] 150&nbsp;млрд доларів, а прибуток у розмірі 5&nbsp;млрд доларів (P / E&nbsp;— 30), а інша з ринковою капіталізацією&nbsp;— 1&nbsp;млрд доларів і прибуток 1&nbsp;млн доларів (P / E&nbsp;— 1000). Розглянемо {{не перекладено|Індекс (економіка)|індекс|en|Index_(economics)}}, складений з двох акцій, з 30&nbsp;% інвестованих у першу, та 70&nbsp;% інвестованих у другу. Ми хочемо обчислити співвідношення P / E цього показника.

З використанням середнього арифметичного зваженого (не правильно): <math> P/E =  0.3*30 + 0.7*1000 = 709 </math>

З використанням середнього гармонійного зваженого (правильно): <math> P/E =  \frac  {0.3+0.7}{0.3/30 + 0.7/1000} \approx 93.46 </math>

Таким чином, правильний Р / Е, який дорівнює 93.46 цього індексу, можна знайти лише за допомогою середнього гармонійного зваженого, тоді як середнє арифметичне зважене значно переоцінить його.

=== У геометрії ===
В будь-якому [[трикутник]]у, радіус [[Вписане коло|вписаного кола]] дорівнює третині від середнього гармонійного [[Висота трикутника|висот]] трикутника.

Для будь-якої точки Р на [[Дуга кола|меншій дузі]] BC [[Описане коло|описаного кола]] [[Правильний трикутник|рівностороннього трикутника]] ABC, з відстанями ''q'' та ''t'' від В та С відповідно, і з перетином PA та BC на відстані ''y'' від точки P, ми маємо, що ''y''&nbsp;— це половина середнього гармонійного від ''q'' та ''t''.<ref>{{cite book |last=Posamentier |first=Alfred S. |last2=Salkind |first2=Charles T. |title=Challenging Problems in Geometry |edition=Second |publisher=Dover |location= |year=1996 |page=172 |isbn=0-486-69154-3 |url=https://books.google.com/books?id=C53dCgAAQBAJ&pg=PA172 }}</ref>

В [[Прямокутний трикутник|прямокутному трикутнику]] з катетами ''a'' та ''b'' і [[Висота трикутника|висотою]] ''h'' від [[Гіпотенуза|гіпотенузи]] до прямого кута, {{math|''h''²}}&nbsp;— це половина середнього гармонійного від {{math|''a''²}} та {{math|''b''²}}.<ref>Voles, Roger, «Integer solutions of <math>a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}</math>,» ''Mathematical Gazette'' 83, July 1999, 269—271.</ref><ref>Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem, " ''Mathematical Gazette'' 92, July 2008, 313–;317.</ref>

Нехай ''t'' та ''s'' (''t'' > ''s'') будуть сторонами двох вписаних квадратів у прямокутний трикутник з гіпотенузою ''c''. Тоді {{math|''s''²}} дорівнює половині середнього гармонійного {{math|''c''²}} та {{math|''t''²}}.

Нехай [[трапеція]] має вершини A, B, C, та D послідовно та паралельні сторони AB та CD. Нехай E буде перетином [[Діагональ|діагоналей]], і нехай F лежить на стороні DA та G лежить на стороні BC так, що пряма FEG паралельна AB та CD. Тоді відрізок FG є середнім гармонійним між AB та DC. (Це доводиться через рівність трикутників.)

[[Файл:CrossedLadders.png|thumb|right|Перехрещені драбини. ''h'' є половиною середнього гармонійного ''A'' і ''B'']]
У {{не перекладено|Задача про перехрещені драбини|задачі про перехрещені драбини|en|crossed ladders problem}}, дві драбини лежать перекинуті хрест на хрест через алею, кожна впирається в основу однієї з бічних стінок, одна з яких прикладена до стіни на висоті ''A'' та інша прикладена до протилежної стіни на висоті ''B'', як показано на малюнку. Дробини схрещуються на висоті ''h'' над підлогою алеї. Тоді ''h'' є половиною середнього гармонійного між ''A'' та ''B''. Цей результат зберігається, якщо стінки нахилені, але так само паралельні, а «висоти» ''A'', ''B'', та ''h'' вимірюються від підлоги вздовж ліній паралельних до стін.

В [[Еліпс|еліпсі]], [[Конічні перетини|половина хорди фокусу еліпсу]] (відрізок від фокусу до кордону еліпсу, паралельний директрисі меншої вісі), дорівнює середньому гармонійному максимальної та мінімальної відстаней від фокусу до еліпса.

=== В інших науках ===
В [[Інформатика|інформатиці]], зокрема, [[Інформаційний пошук|інформаційному пошуку]] та [[Машинне навчання|машинному навчанні]], середнє гармонійне від [[Точність та повнота|повноти]] (позитивні результати на прогнозовані позитивні) і {{не перекладено|Чутливість і специфічність|чутливості|en|Sensitivity_and_specificity}} (позитивні результати на реальні позитивні) часто використовуються як сукупний показник ефективності для оцінки алгоритмів та систем: {{не перекладено|F-міра|F-score|en|F-score}} (або F-міра). Це використовується для пошуку інформації, оскільки [[Релевантність#Релевантність_пошуку|релевантний]] тільки позитивний клас, а кількість негативів взагалі велика і невідома.<ref>{{cite book | last = Van Rijsbergen | first = C. J. | url=http://www.dcs.gla.ac.uk/Keith/Preface.html|year = 1979 | title = Information Retrieval | edition= 2nd | publisher=Butterworth }}</ref> Таким чином, є суперечки щодо того, чи слід оцінювати правильні позитивні прогнози відносно кількості передбачених позитивних результатів чи кількості реальних позитивних результатів, тому, взагалі, вимірюється відносно мнимої кількості позитивних даних, що є середнім арифметичним двох можливих знаменників.

Цікавий наслідок випливає з базової алгебри в задачах, де люди або системи працюють разом. Як приклад, якщо газова помпа може викачати басейн за 4 години, а електрична такий самий басейн за 6 годин, то обидві зможуть це зробити за {{math|{{sfrac|6·4|6+4}}}}, що дорівнює 2.4 години, щоб викачати басейн разом. Цікаво, це одна друга від середнього гармонійного 6 та 4: {{math|{{sfrac|2·6·4|6+4}} {{=}} 4.8}}. Доречним середнім для двох типів помп є середнє гармонійне, бо для двох помп це буде половина цього середнього, для двох таких пар це буде чверть.

У [[Гідрологія|гідрології]], середнє гармонійне використовується для усереднення {{не перекладено|Гідравлична проводимість|гідравличної проводимості|en|hydraulic conductivity}} значень для потоку, що перпендикулярний поверхні шарів (геологічних, ґрунтів)&nbsp;— для потоку паралельного до шарів використовується середнє арифметичне. Ця очевидна різниця в усередненні пояснюється фактом, що гідрологія використовує проводимість, яка є зворотньою до опору.

У {{не перекладено|Саберметрика|саберметриці|en|sabermetrics}}, {{не перекладено|Число сила-швидкість|число сили-швидкості|en|Power–speed number}} гравця є середнім гармонійним від його {{не перекладено|Хоум-ран|хоум-ранів|en|home run}} та {{не перекладено|Крадіжка бази|крадіжок баз|en|stolen base}}.

У [[Генетика популяцій|популяційній генетиці]], середнє гармонійне використовують для обчислення ефектів флуктуацій в розмірах покоління для популяції з ефективним розведенням. Це робиться для врахування факту того, що в дуже малих поколіннях дуже мала кількість особин роблять внесок у [[генофонд]] непропорційно, що може привести до це більшого рівня [[інбридинг]]у.

Якщо розглядати {{не перекладено|Витрати палива автомобілем|витрати палива автомобілем|en|fuel economy in automobiles}}, зазвичай використовують дві міри&nbsp;— дистанція на галон палива, або витрати літрів палива на 100&nbsp;км. Через те, що одиниці вимірювання цих кількостей&nbsp;— це зворотні одна одній, то коли рахуємо середнє значення витрати палива для ряду автомобілів, одна міра одразу створює середнє гармонійне іншої, наприклад, конвертуючи середнє значення витрат палива вираженого в літрах на 100&nbsp;км у милі на галон, отримаємо середнє гармонійне витрат палива вираженого в милях-на-галон.

У [[Хімія|хімії]] та [[Ядерна фізика|ядерній фізиці]] середня маса на частку суміші з різних видів (наприклад: молекул, ізотопів) задана середнім гармонійним мас окремих видів зваженого відповідно до їх [[Масова частка елементу|масової частки]].

== Бета-розподіл ==
[[Файл:Harmonic mean for Beta distribution for alpha and beta ranging from 0 to 5 - J. Rodal.jpg|thumb|Середнє гармонійне для Бета-розподілу для 0 < α < 5 та 0 < β < 5.]]
 
[[Файл:(Mean - HarmonicMean) for Beta distribution versus alpha and beta from 0 to 2 - J. Rodal.jpg|thumb|(Середнє&nbsp;— Середнє Гармонійне) для Бета-розподілу проти альфа та бета від 0 до 2.]]
 
[[Файл: Harmonic Means for Beta distribution Purple=H(X), Yellow=H(1-X), smaller values alpha and beta in front - J. Rodal.jpg|thumb|Середнє гармонійне для Бета-розподілу Пурпурний=H(X), Жовтий=H(1-X), менші значення альфа та бета спереду.]]
 
[[Файл: Harmonic Means for Beta distribution Purple=H(X), Yellow=H(1-X), larger values alpha and beta in front - J. Rodal.jpg|thumb|Гармонійні Середні для Бета-розподілу Пурпурний=H(X), Жовтий=H(1-X), більші значення альфа та бета спереду.]]
 
Середнє гармонійне бета-розподілу з параметрами ''α'' та ''β'' дорівнюють:
 
: <math> H = \frac{ \alpha - 1 }{ \alpha + \beta - 1 } \text{ за умови } \alpha > 1 \, \, \& \, \, \beta > 0 </math>
 
Середнє гармонійне із ''α'' < 1 невизначене, тому що його визначальний вираз не обмежене на [0, 1].
 
Коли ''α'' = ''β'', <math> H = \frac{ \alpha - 1 }{ 2 \alpha -1 }</math>, видно, що для ''α'' = ''β'' середнє гармонійне лежить в діапазоні від 0 для ''α'' = ''β'' = 1, до 1/2 для ''α'' = ''β'' → ∞.
 
Наступне є границями функцій з одним скінченним параметром (не нульовим) та іншим параметром, що наближається до цих границь:
 
: <math> \lim_{ \alpha \to 0 } H = \text{ невизначено }, </math><math> \lim_{ \alpha \to 1 } H = \lim_{ \beta \to \infty } H  = 0 </math>та <math> \lim_{ \beta \to 0 } H = \lim_{ \alpha \to \infty } H = 1. </math>
 
З середнім геометричним, середнє гармонійне може бути корисним для [[Метод максимальної правдоподібності|методу найбільшої правдоподібності]] у випадку з чотирма параметрами.

Друге середнє гармонійне (''H''<sub>1&nbsp;— X</sub>) також існує для цього розподілу: <math>H_{ 1 - X } =  \frac{ \beta - 1 }{ \alpha + \beta - 1 } \text{ за умови } \beta > 1 \, \, \& \, \, \alpha > 0.</math>
 
Це середнє гармонійне з ''β'' < 1 невизначене, тому що його визначальний вираз не обмежений на [ 0, 1 ].
 
При ''α'' = ''β'' у виразі вище&nbsp;— <math> H_{ 1 - X } = \frac{ \beta - 1 }{ 2 \beta - 1 } </math> видно, що для ''α'' = ''β'' середнє гармонійне лежить в діапазоні від 0, для ''α'' = ''β'' = 1, до 1/2, для ''α'' = ''β'' → ∞. Наступне є границями функцій з одним скінченним параметром (не нульовим) та іншим параметром, що наближається до цих границь:
 
: <math> \lim_{ \beta \to 0 } H_{ 1 - X } = \text{ невизначено }, </math> <math> \lim_{ \beta\to 1} H_{ 1 - X } = \lim_{ \alpha \to \infty } H_{ 1 - X } = 0 </math> та <math> \lim_{ \alpha \to 0} H_{ 1 - X } = \lim_{ \beta \to \infty } H_{ 1 - X } = 1. </math>
 
Хоча обидва середніх гармонійних асиметричні, коли ''α'' = ''β'', вони рівні.

== Логонормальний розподіл ==
 
Середнє гармонійне (''H'') [[Логнормальний розподіл|логонормального роподілу]] є наступним:<ref name=Aitchison1969>Aitchison J, Brown JAC (1969). The lognormal distribution with special reference to its uses in economics. Cambridge University Press, New York</ref>

<math> H = \exp \left( \mu -\frac{ 1 }{ 2 } \sigma^2 \right), </math>де ''μ''&nbsp;— це середнє арифметичне та ''σ''<sup>2</sup>&nbsp;— це [[Дисперсія випадкової величини|дисперсія]] розподілу.

Середнє гармонійне і арифметичне пов'язане наступним чином: <math> \frac{ \mu }{ H } = 1 + C_v, </math> де ''C''<sub>v</sub>&nbsp;— це [[коефіцієнт варіації]].
 
Геометричне (''G''), арифметичне та гармонійне середнє пов'язане<ref name="Rossman1990">Rossman LA (1990) Design stream flows based on harmonic means. J Hydr Eng ASCE 116(7) 946—950</ref> між собою так: <math> H \mu = G^2. </math>

== Розподіл Парето ==
 
Середнє гармонійне [[Розподіл Парето|розподілу Парето]] типу 1 дорівнює:<ref name=Johnson1994>Johnson NL, Kotz S, Balakrishnan N (1994) Continuous univariate distributions Vol 1. Wiley Series in Probability and Statistics.</ref> <math> H = k \left( 1 + \frac{ 1 }{ \alpha } \right), </math>де ''k''&nbsp;— це параметр масштабу, а ''α''&nbsp;— це параметр форми.

== Статистика ==
 
Для випадкової вибірки, середнє гармонійне обчислюється як вказано вище. І [[Математичне сподівання|середнє]], і [[Дисперсія випадкової величини|дисперсія]] можуть бути [[Нескінченність|нескінченними]] (якщо включають хоча б один елемент форми 1/0).

=== Вибіркові розподілення середнього та дисперсії ===
 
Середнє вибірки ''m'' є асимптотично розподіленим нормально з дисперсією ''s''<sup>2</sup>: <math> s^2 =  \frac  { m [ \operatorname{E}( 1 / x - 1 ) ] }{ m^2 n }. </math>

Дисперсія самого середнього<ref name=Zelen1972>Zelen M (1972) Length-biased sampling and biomedical problems. In: Biometric Society Meeting, Dallas, Texas</ref>: <math> \operatorname{Var}\left( \frac { 1 } { x } \right) = \frac { m \left[ \operatorname{E}( 1 / x - 1 ) \right] } { n m^2 }, </math>

де ''m''&nbsp;— це середнє арифметичне зворотніх, ''x''&nbsp;— змінні, ''n''&nbsp;— загальний розмір множини та ''E''&nbsp;— оператор очікування.

=== Дельта-метод ===
 
Якщо прийняти дисперсію за не нескінченну, і що [[центральна гранична теорема]] застосовується до вибірки, де використовується [[дельта-метод]], то дисперсія дорівнює
 
: <math> \operatorname{ Var }( H ) = \frac{ s^2 } { nm^4 } ,</math> де ''H''&nbsp;— це середнє гармонійне, а ''m''&nbsp;— це середнє арифметичне зворотніх <math> m = \frac{ 1 } { n } \sum{ \frac{ 1 } { x } } </math>(1 у формулі дисперсії опущено).
 
''s''<sup>2</sup>&nbsp;— це дисперсія зворотніх даних: <math> s^2 = \operatorname{Var}\left( \frac { 1 } { x } \right) ,</math>а ''n''&nbsp;— це кількість елементів даних у вибірці.

=== Складано-ножева перевибірка ===
 
[[Складано-ножева перевибірка|Складано-ножевий метод]] оцінки дисперсії можливий тоді, якщо середнє відоме.<ref name=Lam1985>Lam FC (1985) Estimate of variance for harmonic mean half lives. J Pharm Sci 74(2) 229—231</ref> Цей метод&nbsp;— звичайна версія «видалення 1», а не «видалення ''m''».
 
Однак цей метод спочатку потребує обчислення середнього вибірки (''m''): <math> m = \frac{ n }{ \sum { \frac{ 1 }{ x } } },</math>де ''x —'' елементи вибірки.
 
Після того обчислюється послідовність значень ''w<sub>i</sub>'': <math> w_i = \frac{ n - 1 }{ \sum_{j \neq i} { \frac{ 1 }{ x } } }.</math>
 
А після цього, середнє (''h'') від ''w''<sub>i</sub>: <math> h = \frac{ 1 }{ n } \sum{ w_i }. </math>
 
Дисперсія середнього дорівнює: <math> \frac{ n - 1 }{ n } \sum{ ( m - h ) }^2  .</math>
 
[[Статистична значущість]] та [[Довірчий інтервал|довірчі інтервали]] для середнього можуть бути оцінені за допомогою [[t-критерій Стьюдента|критерія Стьюдента]].

=== Формування вибірки зі зміщенням у розмірі ===
 
Приймемо, що випадкова величина має розподіл ''f''(''x''). Приймемо також, що вірогідність вибору випадкової величини пропорційна до її значення. Це називається формування вибірки на базі розміру або зі зміщенням у розмірі.
 
Нехай ''μ'' буде середнім всієї множини. Тоді [[густина імовірності]] ''f''*(''x'') від множини зі зміщенням у розмірі буде: <math> f^*(x) = \frac{ x f( x ) }{ \mu }. </math>
 
Сподівання від цієї вибірки зі зміщенням у розмірі E<sup>*</sup>(''x'') буде:<ref name="Zelen1972"/> <math> \operatorname{E}^*( x ) = \mu \left[ 1 + \frac{ \sigma^2 }{ \mu^2 } \right], </math>де ''σ''<sup>2</sup>&nbsp;— це дисперсія.
 
Сподівання середнього гармонійного таке саме як версія E(''x'') без зміщення у розмірі: <math> \operatorname{E}^*\left( \frac{ 1 }{ x } \right) = \operatorname{E}\left( \frac{ 1 }{ x } \right). </math>
 
Задача вибірки зі зміщенням у розмірі утворюється в ряді областей, включно із текстильним виробництвом,<ref name="Cox1969">Cox DR (1969) Some sampling problems in technology. In: New developments in survey sampling. U.L. Johnson, H Smith eds. New York: Wiley Interscience</ref> аналізом родоводів<ref name="Davidov2001">Davidov O, Zelen M (2001) Referent sampling, family history and relative risk: the role of length‐biased sampling. Biostat 2(2): 173—181 doi: 10.1093/biostatistics/2.2.173</ref> та аналізом виживання.<ref name="Zelen1969">Zelen M, Feinleib M (1969) On the theory of screening for chronic diseases. Biometrika 56: 601—614</ref>
 
Акман з співавторами розробили тест для визначення помилок у довжині вибірок.<ref name="Akman2007">Akman O, Gamage J, Jannot J, Juliano S, Thurman A, Whitman D (2007) A simple test for detection of length-biased sampling. J Biostats 1 (2) 189—195</ref>

=== Зсунуті змінні ===
 
Якщо ''X —'' це випадкова додатна змінна, а ''q'' > 0 тоді для всіх ''ε'' > 0, то:<ref name=Chuen-Teck2008>Chuen-Teck See, Chen J (2008) Convex functions of random variables. J Inequal Pure Appl Math 9 (3) Art 80</ref> <math> \operatorname{Var}\left[ \frac{ 1 }{( X + \epsilon )^q } \right] < \operatorname{Var}\left( \frac{ 1 }{ X^q } \right) .</math>

=== Моменти ===
 
Приймемо, що ''X'' та E(''X'') > 0, тоді:<ref name="Chuen-Teck2008"/><math> \operatorname{E}\left[ \frac{ 1 }{ X } \right] \ge \frac{ 1 }{ \operatorname{E}( X ) },</math>це слідує з [[Нерівність Єнсена|нерівності Єнсена]].

Гурленд показав, що<ref name="Gurland1967">Gurland J (1967) An inequality satisfied by the expectation of the reciprocal of a random variable. The American Statistician. 21 (2) 24</ref> для розподілу, який бере тільки позитивні значення, для будь-якого ''n'' > 0 <math> \operatorname{E}( X^{ -1 } ) \ge \frac{ \operatorname{E}( X^{ n - 1 } ) }{ \operatorname{E}( X^n ) } .</math>
 
Але при деяких умовах<ref name="Sung2010">Sung SH (2010) On inverse moments for a class of nonnegative random variables. J Inequal Applic doi:10.1155/2010/823767</ref> <math> \operatorname{E}( a + X )^{ -n }  \sim \operatorname{E}( a + X^{ -n } ), </math>де ~ (тильда) означає&nbsp;[[приблизність]].

=== Властивості формування вибірок ===

Приймемо, що варіанти (''x'') взяті з [[Логнормальний розподіл|логнормального розподілу]], тоді є декілька можливих оцінок для ''H'':

<math> H_1 = \frac{ n }{ \sum( \frac{ 1 }{ x } ) }, </math><math> H_2 = \frac{ [ \exp( \frac{ 1 }{ n } \sum \log_e( x ) ) ]^2 }{ \frac{ 1 }{ n } \sum(  x  ) } </math> та <math> H_3 = \exp \left( m - \frac{ 1 }{ 2 } s^2 \right), </math>де <math> m = \frac{ 1 }{ n } \sum \log_e( x )</math> і <math> s^2 = \frac{ 1 }{ n } \sum ( \log_e( x ) - m )^2. </math>

З цих всіх, ''H''<sub>3</sub>, напевно, є кращою оцінкою для вибірки з 25 чи більшої кількості елементів.<ref name=Stedinger1980>Stedinger JR (1980) Fi tting lognormal distributions to hydrologic data. Water Resour Res 16(3) 481—490</ref>

=== Оцінки зміщення і варіації ===
 
Наближення першого порядку для зміщення і дисперсії ''H''<sub>1</sub>:<ref name=Limbrunner2000>Limbrunner JF, Vogel RM, Brown LC (2000) Estimation of harmonic mean of a lognormal variable. J Hydrol Eng 5(1) 59-66 [http://engineering.tufts.edu/cee/people/vogel/publications/estimation-harmonic.pdf] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100611205528/http://engineering.tufts.edu/cee/people/vogel/publications/estimation-harmonic.pdf |date=11 червень 2010 }}</ref> <math> \operatorname{bias}[ H_1 ] = \frac{ H C_v }{ n }</math> і <math> \operatorname{Var}[ H_1 ] = \frac{ H^2 C_v }{ n },</math>де ''C''<sub>v</sub>&nbsp;— це коефіцієнт дисперсії.
 
Так само, наближення першого порядку до зміщення та дисперсії ''H''<sub>3</sub>:<ref name="Limbrunner2000" /><math> \frac{ H \log_e( 1 + C_v ) }{ 2n } \left[ 1 + \frac{ 1 + C_v^2 }{ 2 } \right] </math> і <math> \frac{ H \log_e( 1 + C_v ) }{ n } \left[ 1 + \frac{ 1 + C_v^2 }{ 4 } \right]. </math>
 
За допомогою числових експериментів було знайдено, що ''H''<sub>3</sub>, загально, краща оцінка середнього гармонійного ніж ''H''<sub>1</sub>.<ref name="Limbrunner2000"/> ''H''<sub>2</sub> видає оцінки, які значною мірою подібні до ''H''<sub>1</sub>.

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==
* {{Mathworld |id=HarmonicMean |title=Harmonic Mean}}

{{Статистика|описова}}

[[Категорія:Середні величини|Гармонійне середнє]]