Перегляд вихідного коду сторінки Стандартне відхилення

[[Файл:standard deviation diagram.svg|thumb|Графік [[Нормальний розподіл|нормального розподілу]] (або крива в формі дзвону) де кожна вертикальна смуга має ширину, що дорівнює 1 стандартному відхиленню]]
[[Файл:Normal-distribution-cumulative-density-function.svg|thumb|Кумулятивна функція густини ймовірностей нормального розподілу із сподіванням 0 і стандартним відхиленням 1.]]
'''Станда́ртне відхи́лення''' ({{lang-en|standard deviation}}) або '''середнє квадратичне відхилення''', позначається грецькою літерою сигма '''[[Сигма (літера)|σ]]''' або латинською літерою [[S (латиниця)|S]]&nbsp;— у [[теорія ймовірності|теорії ймовірності]] і [[статистика|статистиці]] найпоширеніший показник розсіювання значень [[випадкова величина|випадкової величини]] відносно її [[математичне сподівання|математичного сподівання]]. Має ту ж розмірність, що і випадкова величина.

Середнє квадратичне відхилення так само, як і середнє лінійне відхилення, показує, на скільки в середньому відхиляються конкретні значення ознаки від середнього їх значення. Середнє квадратичне відхилення завжди більше середнього лінійного відхилення. Мале значення стандартного відхилення вказує, що дані точок скупчені ближче до середнього значення (математичного сподівання) вибірки, в той час як великі значення стандартного відхилення вказують, що точки розподілені в більш широкому діапазоні значень.

Крім того, що стандартне відхилення характеризує мінливість вибірки, воно зазвичай використовується як міра достовірності статистичних висновків. Наприклад, [[межа похибки]] для даних [[Опитування|опитування]] визначається за допомогою розрахунку очікуваного стандартного відхилення в результатах за умови, якби те саме опитування було проведене декілька разів. Таке виведення стандартного відхилення часто називають «стандартною похибкою» оцінювання або «стандартною похибкою середнього», якщо мова йде про середнє. Вона визначає стандартне відхилення усіх середніх значень, отримані для даної генеральної сукупності на основі вибірки.

== Історія ==
Термін ''стандартне відхилення'' вперше у монографіях використав<ref>{{Cite book |last=Dodge |first=Yadolah |year=2003 |title=The Oxford Dictionary of Statistical Terms |publisher=Oxford University Press |isbn=0-19-920613-9 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/oxforddictionary0000unse }}</ref> [[Карл Пірсон]]<ref>{{Cite journal|last=Pearson |first=Karl |authorlink=Карл Пірсон |year=1894 |title=On the dissection of asymmetrical frequency curves |journal=[[Philosophical Transactions of the Royal Society A]] |volume=185 |pages=71–110|doi=10.1098/rsta.1894.0003|bibcode=1894RSPTA.185...71P }}</ref> в 1894 році, перед тим почав використовувати його при читанні лекцій. Цим він замінив альтернативні назви подібного поняття, що існували раніше: наприклад, [[Карл Фрідріх Гаусс|Гаусс]] використовував термін ''середня похибка''.<ref>{{cite web|last=Miller |first=Jeff |url=http://jeff560.tripod.com/mathword.html |title=Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics}}</ref>

== Використання ==
Стандартне відхилення використовують під час розрахунку [[Стандартна невизначеність|стандартної похибки]] [[середнє арифметичне|середнього арифметичного]], для побудови [[Довірчий інтервал|довірчих інтервалів]], [[Перевірка статистичних гіпотез|статистичної перевірки гіпотез]], виміру лінійного взаємозв'язку між випадковими величинами.

== Обчислення ==
Стандартне відхилення усієї сукупності може застосовуватися у випадках, де відібрано кожного представника сукупності ({{нп|Стандартизоване тестування (статистика)|стандартизоване тестування|en|Standardized testing (statistics)}}). У випадках коли це не можливо, стандартне відхилення ''σ'' оцінюють на основі випадкової вибірки із сукупності і розраховують [[Статистика (математика)|статистику]] для вибірки, яка використовуються для оцінки стандартного відхилення сукупності. Це називається [[Статистична оцінка|статистичною оцінкою]], а оцінене значення називається '''стандартним відхиленням вибірки,''' що позначається як ''s'' (іноді зі позначеннями). Однак, на відміну від випадку із оцінкою математичного сподівання для сукупності, де оцінкою для вибірки є [[Вибіркове середнє|вибіркове середнє]], яке є простою оцінкою із багатьма властивостями для різних задач ([[Незміщена оцінка|незміщена]], [[Ефективна оцінка|ефективна]], максимальної правдоподібності), але не існує єдиної оцінки з усіма цими властивостями для стандартного відхилення, а незміщена оцінка для стандартного відхилення пов'язана із технічними складностями. Найчастіше, стандартне відхилення оцінюється за допомогою корегованого вибіркового стандартного відхилення (із використанням корекції ''N''&nbsp;−&nbsp;1), визначеного нижче. Однак інші оцінки можуть бути кращими за інших умов: некорегована оцінка (з використанням ''N'') призводить до менших значень середньоквадратичної похибки, а використання ''N''&nbsp;−&nbsp;1.5 (для нормального розподілу) майже повністю усуває зміщення.

=== Некореговане стандартне відхилення для вибірки ===
Формулу для стандартного відхилення ''сукупності'' (для скінченної сукупності) можливо застосувати до вибірки, використавши як розмір вибірки розмір даної вибірки (хоча фактичний розмір сукупності для якої було отримано вибірки є набагато більшим). Ця оцінка, позначається як ''s''<sub>''N''</sub>, і відома як '''некореговане вибіркове стандартне відхилення''', або іноді '''стандартне відхилення вибірки''' (що представляє і розглядається як ціла сукупність), і визначається так:
: <math>
\sigma=\sqrt{\sigma\,^2}\, = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2},
</math>
де <math>\textstyle\{x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_N\}</math> значення спостережень даної вибірки а <math>\textstyle\overline{x}</math> середнє значення цих спостережень, а в знаменнику&nbsp;''N'' означає об'єм вибірки. Середньоквадратичне відхилення&nbsp;— дорівнює кореню квадратному з [[дисперсія випадкової величини|дисперсії випадкової величини]] для вибірки, що в свою чергу є середнім значенням для квадратичних відхилень від вибіркового середнього.

Це [[конзистентна оцінка]] (вона збігається за імовірністю до значення, що відповідає сукупності із збільшенням об'єму вибірки до нескінченності), і ця оцінка є [[Метод максимальної правдоподібності|оцінкою максимальної правдоподібності]] якщо сукупність має нормальний розподіл. Однак, вона є [[Незміщена оцінка|зміщеною оцінкою]], оскільки оцінені значення як правило значно занижені. Зміщення зменшується із збільшенням об'єму вибірки, зменшуючись у порядку пропорційному до 1/''N'', і таким чином зміщення є найбільш відчутним для малих і середніх вибірок; для <math>N > 75</math> зміщення буде меншим за 1&nbsp;%. Таким чином, для дуже великих вибірок, це некореговане вибіркове стандартне відхилення є в загальному випадку прийнятним. Ця оцінка має також рівномірно меншу {{нп|середньоквадратична похибка|середньоквадратичну похибку|en|mean squared error}} ніж кореговане стандартне відхилення вибірки.

=== Кореговане стандартне відхилення для вибірки ===

При невеликій вибірці (<math>n \leqslant 50</math>) вводиться [[поправка Бесселя]]:

: <math>s=\sqrt{\frac{n}{n-1}\sigma\,^2}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2}</math>

де:<br/>
<math>s</math>&nbsp;— стандартне відхилення, незміщена оцінка средньоквадратичного відхилення випадкової величини <math>X</math> відносно її математичного сподівання;<br/>
<math>\sigma\,^2</math>&nbsp;— дисперсія; <br/>
<math>x_i</math>&nbsp;— <math>i</math>-й елемент вибірки; <br/><math>\bar{x}</math>&nbsp;— середнє арифметичне вибірки:
: <math>\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i.</math>

<math>n</math>&nbsp;— обсяг (розмір) вибірки.

Слід звернути увагу на відмінність стандартного відхилення (у знаменнику <math>n - 1</math>) від кореня з дисперсії (у знаменнику <math>n</math>). Для малих обсягів вибірки оцінка дисперсії є дещо зміщеною на величину <math>n/(n-1)</math>, для нескінченно великого обсягу вибірки різниця між вказаними величинами зникає.

[[Вибірка]]&nbsp;— лише частина [[Генеральна сукупність вимірів|генеральної сукупності]]. Генеральна сукупність&nbsp;— абсолютно всі можливі результати. Отримати результат, що не входить в генеральну сукупність&nbsp;— неможливо. Для випадку з киданням монети генеральною сукупністю є: решка, ребро, орел. А ось пара орел-решка&nbsp;— вже лише вибірка. Для генеральної сукупності математичне очікування збігається зі справжнім значенням оцінюваного параметра. А для вибірки&nbsp;— необов'язково. Математичне очікування вибірки має зміщення (зсув?) щодо дійсного значення параметра. Через це середньоквадратична помилка більша ніж дисперсія, оскільки дисперсія&nbsp;— математичне очікування квадрата відхилення від середнього значення, а середньоквадратичне відхилення&nbsp;— математичне очікування відхилення від справжнього значення. Різниця в тому, від чого шукаємо відхилення: коли дисперсія, то від середнього (і не важливо достеменне це середнє чи помилкове), а коли середньоквадратичне відхилення, то це відхилення від справжнього середнього значення.

=== Незміщене вибіркове стандартне відхилення ===
На відміну від середнього і дисперсії, не існує формули незміщеної оцінки стандартного відхилення, яка б виконувалася для всіх розподілів. Замість неї, використовують ''s'' як базис, який масштабують за допомогою коефіцієнту поправки з метою утворити незміщену оцінку. Для нормального розподілу, незміщена оцінка задається як ''s''/''c''<sub>4</sub>, де коефіцієнт поправки (який залежить від ''N'') визначено за допомогою [[Гамма-функція|Гамма-функції]], і дорівнює:
: <math>c_4(N)\,=\,\sqrt{\frac{2}{N-1}}\,\,\,\frac{\Gamma\left(\frac{N}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{N-1}{2}\right)}.</math>
Це отримане із того, що вибірковий розподіл для стандартного відхилення вибірки відповідає (масштабованому) {{нп|Хі розподіл|Хі розподілу|en|chi distribution}}, а коефіцієнт поправки є середнім даного хі розподілу.

Наближення можна виконати замінивши ''N''&nbsp;−&nbsp;1 на ''N''&nbsp;−&nbsp;1.5, в результаті буде отримано:
: <math>
    \hat\sigma = \sqrt{ \frac{1}{N - 1.5} \sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x})^2 },
  </math>
Похибка цього наближення зменшується квадратично (із 1/''N''<sup>2</sup>), і підходить для всіх вибірок, крім найменших або при необхідності мати найвищу точність: для ''N'' = 3 зміщення дорівнює 1.3&nbsp;%, а для ''N'' = 9 зміщення уже буде меншим за 0.1&nbsp;%.

Для інших розподілів, правильна формула буде залежати від розподілу, але основним правилом є використовувати таку поправку для наближення:
: <math>
    \hat\sigma = \sqrt{ \frac{1}{N - 1.5 - \tfrac14 \gamma_2} \sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x})^2 },
  </math>
де ''γ''<sub>2</sub> означає поправку [[Коефіцієнт ексцесу|ексцесу]] для популяції. Цей параметр може бути або відомим заздалегідь для певного розподілу, або оціненим із даних.

=== Довірчий інтервал стандартного відхилення вибірки ===
{{see also|Межа похибки}}
Стандартне відхилення (СВ), яке ми отримуємо за допомогою вибірки розподілу, саме по собі не є абсолютно точним з двох причин: математичної (описаній тут за допомогою довірчого інтервалу) і з практичної причини вимірювання (похибки вимірювання). Математичний вплив описують за допомогою [[Довірчий інтервал|довірчого інтервалу]] або ДІ.
Аби показати, як збільшення вибірки призведе до звуження довірчого інтервалу, наведемо такі приклади: Невелика сукупність розміром ''N'' = 2 має лише 1 степінь свободи для оцінки стандартного відхилення. В результаті 95&nbsp;% довірчого інтервалу для стандартного відхилення знаходиться в межах від 0.45&nbsp;×&nbsp;СВ до 31.9&nbsp;×&nbsp;СВ; [[Довірчий інтервал|і виглядає так]]:

: <math> \Pr \left( q_{\alpha/2} < k \frac{s^2}{\sigma^2} < q_{1-\alpha/2} \right) = 1-\alpha,</math>

де <math>q_p</math> є ''p''-им [[Квантиль|квантилем]] розподілу хі-квадрат із ''k'' степенями свободи, а <math>1-\alpha</math> є рівнем довіри. Це є еквівалентно наступному виразу:

: <math> \Pr \left( k \frac{s^2}{q_{1-\alpha/2}} < \sigma^2 < k \frac{s^2}{q_{\alpha/2}} \right) = 1-\alpha.</math>

Із ''k'' = 1, <math>q_{0.025} = 0.000982</math> і <math>q_{0.975} = 5.024</math>. Обернене значення квадратних коренів цих двох чисел дають нам множники 0.45 і 31.9 вказані вище.

Більша сукупність при ''N'' = 10 має 9 степенів свободи при визначенні стандартного відхилення. Такий самий розрахунок, як наведено вище дозволяє отримати, що в цьому випадку 95&nbsp;% ДІ знаходиться в межах від 0.69*СВ до 1.83*СВ. Тому навіть при сукупності вибірки розміром в 10, фактичне СВ може залишатися майже вдвічі більшим ніж отримане вибіркове СВ. Для сукупності вибірки N=100, це зменшується до 0.88*СВ до 1.16*СВ. Аби бути впевненим, що вибіркове стандартне відхилення близьке до фактичного необхідно мати вибірку із великою кількістю точок.

Ці ж формули можна застосувати для отримання довірчих інтервалів для дисперсії залишків для методу [[Метод найменших квадратів|найменших квадратів]], де ''k'' тепер буде задавати кількість {{нп|степені свободи (статистика)|степенів свободи|en|Degrees of freedom (statistics)}} для похибки.

== Суть стандартного відхилення (приклади) ==

Розглянемо наступний приклад, де є дві вибірки даних<ref>[http://berg.com.ua/tech/indicators-overlays/stdev/ Стандартное отклонение]</ref>:

# 1, 2, 3, 4, 5
# -235, -103, 3, 100, 250

З сукупностей очевидно, що вони різні. Якщо порахувати середнє арифметичне, то отримаємо в обох випадках 3. Проте, в другій вибірці дані більше розсіяні довкола центру, а в першому випадку більше сконцентровані в центрі. Тому кажуть, що в другої вибірки велике стандартне відхилення, а в першої незначне. Якщо обчислити дані відхилення, то отримаємо σ1=1,6, а σ2=186. Різниця суттєва.

Здебільшого вибірки не відрізняються настільки, як у попередньому випадку. Наприклад, при проведенні ряду вимірювань отримали дві вибірки<ref>Лакин Г.&nbsp;Ф.&nbsp;Биометрия: Учеб. пособие для биол. спец. вузов.&nbsp;— М: Высш. шк., 1990.&nbsp;— 352 с.&nbsp;— с. 42</ref>:

* x1: 10, 15, 20, 25, 30, 40, 45, 50

* x2: 10, 28, 28, 30, 30, 32, 32, 50

В обох випадках середні значення рівні 30, крім того у них однакові границі. Проте σ1=13,7, а σ2=10,1. Тобто, видно, що при однакових границях і ширині варіації дисперсія і стандартне відхилення виявляються неоднакові: на величини цих показників вплинув різний характер варіювання ознак об'єкта (іншими словами мінливість даних в вибірці).

Стандартне відхилення в ряді випадків виявляється кращим для використання ніж дисперсія, з тієї причини, що воно виражається в тих самих одиницях, що й середня арифметична величина.

Порівняння особливостей розподілу варіант у різних вибірках лише за показниками нормованого відхилення (σ) недостатньо, а іноді неможливе (коли необхідно порівнювати варіаційні ряди, де ознаки вимірювалися в різних одиницях вимірювання, наприклад, одна вибірка&nbsp;— маса людини в кілограмах, а інша&nbsp;— зріст людини в сантиметрах). Для таких порівнянь застосовується відносний показник, який позначається символом t і зветься [[Нормоване відхилення|нормованим відхиленням]]<ref>[http://lib.kma.mk.ua/pdf/pidruchnuku/3/17.pdf Калінін М. І., Єлісєєв В.&nbsp;В.&nbsp;Біометрія: Підручник для студентів вузів біологічних і екологічних напрямків.&nbsp;— Миколаїв: Вид-во МФ НаУКМА, 2000.&nbsp;— 204 с.&nbsp;— C. 50-51]{{Недоступне посилання|date=липень 2019 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>.

== Правило 3-х сигм ==
'''Правило 3-х сигм''' (<math>3\sigma\,\!</math>)&nbsp;— практично всі значення нормально розподіленої випадкової величини лежать в інтервалі <math>\left[\bar{x}-3\sigma;\bar{x}+3\sigma\right]</math>. Точніше&nbsp;— не менш, ніж із 99,7&nbsp;% достовірністю, значення нормально розподіленої випадкової величини лежить у вказаному інтервалі
(за умови що величина <math>\bar{x}</math> достеменно відома, а не отримана в результаті обробки вибірки).
Якщо істинне значення величини невідоме, то слід користуватися не <math>\sigma</math>, а <math>s</math>. Таким чином правило 3-х сигм перетвориться в правило трьох <math>s</math>.

== Інтерпретація і застосування ==
{{further information|Довірчий інтервал}}
[[Файл:Comparison standard deviations.svg|thumb|400px|right|Приклад вибірок двох сукупностей із однаковим середнім, але із різними стандартними відхиленнями. Червоним показана сукупність, що має середнє значення 100 і стандартне відхилення SD 10; синім показано сукупність із середнім 100 і стандартним відхиленням SD 50.]]
Великі значення стандартного відхилення означають, що точки можуть бути розподілені далеко від середнього, а малі значення стандартного відхилення означають, що точки зосереджені близько до середнього значення вибірки.

Наприклад, кожна із наступних трьох сукупностей {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} і {6, 6, 8, 8} має середнє значення 7. Їх стандартні відхилення дорівнюють 7, 5, і 1, відповідно. Третя сукупність має набагато менше стандартне відхилення ніж інші дві, оскільки всі її значення знаходяться близько до значення 7. Воно матиме ті самі одиниці вимірювання, що і самі дані вибірки. Якщо, наприклад, вибірка даних {0, 6, 8, 14} представляє вік чотирьох дітей в роках, стандартне відхилення дорівнюватиме 5 рокам. Інший приклад, сукупність {1000, 1006, 1008, 1014} може означати відстань, яку здолали чотири атлети в метрах. Вона має середнє значення в 1007 метрів, і стандартне відхилення в 5 метрів.

Стандартне відхилення може слугувати мірою невизначеності. Наприклад у фізиці, отримане стандартне відхилення серії повторюваних [[Вимірювання|вимірювань]] визначає [[точність]] цих вимірювань. Якщо необхідно прийняти рішення, чи відповідають вимірювання теоретичному передбаченню, стандартне відхилення цих вимірювань має не аби яку важливість: якщо середнє значення вимірювань знаходиться занадто далеко від передбачуваного (де відстань вимірюється як стандартне відхилення), тоді, ймовірно, необхідно переглянути теорію, що перевіряться. Це пояснюється тим, що вони виходять за межі значень, які логічно повинні були очікуватися, якби припущення було вірним і стандартне відхилення визначалося б належним чином.

Хоча стандартне відхилення означає наскільки далеко від середнього можуть бути розподілені дані вимірювань, існують також і інші міри. Наприклад, існує також {{нп|середнє абсолютне відхилення||en|mean absolute deviation}}, яке можна розглядати як більш пряму міру середньої відстані, якщо порівнювати його із [[середньоквадратичне відхилення|середньо квадратичною відстань]], яку запозичено в якості стандартного відхилення.

=== Приклад застосування ===
Практичне використання стандартного відхилення для вибірки даних полягає в оцінці величини того, на скільки вони відхиляються від середнього значення.

==== Експеримент і перевірка гіпотез ====
Стандартне відхилення часто використовується для порівняння реальних даних вимірювання із моделлю, з метою її перевірки.
Наприклад, в задачах виробництва вага виробів, що виходять із виробничої лінії повинна відповідати встановленому значенню. Зваживши деяку частку виробів можна знайти значення середньої ваги, яка завжди дещо відрізнятиметься від середнього на великій вибірці. Розрахувавши стандартне відхилення, можна отримати мінімальне і максимальне значення в якому середня вага знаходиться із дуже високою ймовірністю (99.9&nbsp;% або більше). Якщо вона випадає за рамки цих значень, тоді процес виробництва необхідно відлагодити. Статистичні тести подібні до цього є важливими, коли тестування є відносно дорогим. Наприклад, якщо продукт необхідно відкрити, засушити і зважити, або якщо в рамках тесту його необхідно використовувати якимось чином.

В експериментальній науці, застосовують теоретичну модель реальності. [[Фізика елементарних частинок|У фізиці елементарних часток]] традиційно використовують стандартне відхилення в «5 сигм» для перевірки відкриття.<ref>{{cite web|url=http://public.web.cern.ch/public/ |title=CERN &#124; Accelerating science |publisher=Public.web.cern.ch |accessdate=2013-08-10}}</ref> Це означає, що може існувати один шанс на 3.5 мільйонів що випадкова флуктуація буде відхилятися від результату. Цей рівень правдоподібності необхідно було підтвердити аби мати змогу стверджувати, що частка яка відповідає [[Бозон Хіггса|Бозону Хіггса]] була відкрита у двох незалежних експериментах в [[CERN]],<ref>{{cite web|url=http://press-archive.web.cern.ch/press-archive/PressReleases/Releases2012/PR17.12E.html |title=CERN experiments observe particle consistent with long-sought Higgs boson &#124; CERN press office |publisher=Press.web.cern.ch |date=2012-07-04 |accessdate=2015-05-30}}</ref>, а також це було мірою впевненості для оголошення про [[Відкриття гравітаційних хвиль|перше виявлення гравітаційних хвиль]].<ref>{{Citation|автори=((LIGO Scientific Collaboration)), ((Virgo Collaboration))|title=Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger|journal=Physical Review Letters|volume=116|issue=6|year=2016|pages=061102|doi=10.1103/PhysRevLett.116.061102|arxiv=1602.03837|pmid=26918975|bibcode=2016PhRvL.116f1102A}}</ref>

==== Погода ====
В якості простого прикладу можна розглянути середньодобові максимуми температури двох міст, одне з яких знаходиться в прибережній зоні, а друге в глибині суші. Це корисно для розуміння, що діапазон щоденних максимумів температури у містах біля берега є меншим ніж у містах в середині суші. Таким чином, хоч ці два міста можуть мати однакову середню максимальну температуру, стандартне відхилення щоденного максимуму температури для прибережного міста буде меншим ніж у міста в глибині суші, в будь-який обраний день, фактична максимальна температура скоріше за все буде більш відмінною від середньої максимальної температури у місті в глибині суші, на відміну від прибережної зони.

=== Геометрична інтерпретація ===
Аби скласти геометричне уявлення та роз'яснення, розглянемо сукупність із трьох значень, ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>. Вони визначають точку ''P'' = (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>) в просторі '''R'''<sup>3</sup>. Розглянемо пряму ''L'' = {(''r'', ''r'', ''r'') : ''r'' ∈ '''R'''}. Це «головна діагональ» що проходить через початок координат. Якщо всі три наші значення є рівними, тоді стандартне відхилення дорівнюватиме нулю і ''P'' лежатиме на прямій ''L''. Таким чином можна висунути припущення, що стандартне відхилення пов'язане із ''відстанню'' точки ''P'' до ''L''. Це дійсно так. Аби виміряти відстань від ''L'' ортогонально до точки ''P'', почнемо з точки:

: <math>M = (\overline{x},\overline{x},\overline{x})</math>

її координати є середніми значеннями, з яких ми почнемо.
{{Collapse top|title=Виведення що <math>M = (\overline{x},\overline{x},\overline{x})</math>}}
<math>M</math> знаходиться на <math>L</math> тому <math>M = (l,l,l)</math> із <math>l \in \textbf{R}</math>

Пряма <math>L</math> буде ортогональною вектору від точки <math>M</math> до <math>P</math>. Таким чином:

<math> \begin{align} 
L \cdot (P-M) &= 0 \\ 
(r,r,r) \cdot (x_1 - l, x_2 -l, x_3 -l)&=0 \\ 
r*(x_1 - l+ x_2 -l+ x_3 -l) &=0 \\ 
r*(\sum\limits_i x_i - 3l)  &=0 \\
\sum\limits_i x_i - 3l  &=0 \\
\frac1{3}\sum\limits_i x_i &=l\\
\overline{x}&=l
\end{align}</math>
{{Collapse bottom}}
Розрахунки показують, що відстань між ''P'' і ''M'' (що є ортогональною відстанню від ''P'' до прямої ''L'') <math>\sqrt{\sum\limits_i (x_i-\overline{x})^2}</math> дорівнює стандартному відхиленню вектору ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, помноженому на квадратний корінь від кількості вимірів вектора (в даному випадку це 3.)

=== Нерівність Чебишова ===
{{main article|Нерівність Чебишова}}
Спостереження рідко відхиляється від середнього значення більше ніж на декілька стандартних відхилень. Нерівність Чебишова доводить що, для всіх розподілів, для яких визначено стандартне відхилення, кількість спостережень, що знаходяться в діапазоні, яке відповідає числу стандартних відхилень від середнього значення, буде становити щонайменше таку кількість в процентах, яку вказано в такій таблиці.

{|class="wikitable"
|-
! Відстань від середнього || Мінімальна кількість від сукупності
|-
| <math>\sqrt{2}\,\sigma</math> || 50&nbsp;%
|-
| 2σ || 75&nbsp;%
|-
| 3σ || 89&nbsp;%
|-
| 4σ || 94&nbsp;%
|-
| 5σ || 96&nbsp;%
|-
| 6σ || 97&nbsp;%
|-
| <math>k\sigma</math> || <math> 1 - \frac 1 {k^2}</math><ref>Ghahramani, Saeed (2000). ''Fundamentals of Probability'' (2nd Edition). Prentice Hall: New Jersey. p. 438.</ref>
|-
| <math>\frac 1 {\sqrt{1-\ell}} \, \sigma</math> || <math>\ell</math>
|}

=== Правила, що стосуються нормально розподілених величин ===
[[Центральна гранична теорема]] доводить, що розподіл середнього для багатьох незалежних, однаково розподілених нормальних величин прямує до нормального розподілу із [[Густина імовірності|густиною імовірностей]], що визначається як

: <math>f(x;\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 }
</math>

де ''μ''&nbsp;— [[математичне сподівання]] випадкових величин, ''σ'' дорівнює стандартному відхиленню їх розподілів, розділеному на ''n''<sup>1/2</sup>, а ''n''&nbsp;— кількість випадкових величин. Таким чином, стандартне відхилення є лише змінною масштабування, яка вказує наскільки широко розтягнутою буде крива розподілу, хоча воно також з'являється і в {{нп|Нормувальна стала|нормувальній сталій|en|normalizing constant}}.

Якщо розподіл даних є наближеним до нормального, тоді частка даних, які потраплять в діапазон шириною в ''z'' стандартних відхилень від середнього задається так:

: <math> \text{Proportion} = \operatorname{erf}\left(\frac z {\sqrt 2}\right)</math>

де <math>\scriptstyle\operatorname{erf}</math>&nbsp;— [[функція помилок]]. Частка даних, які будуть менше або дорівнюватимуть довільному значенню x, задаються за допомогою [[Функція розподілу ймовірностей|кумулятивної функції розподілу імовірностей]]:

: <math> \text{Proportion} \le x = \frac12\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right] = \frac12\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac z {\sqrt{2}} \right)\right]</math>.<ref>{{cite web |url= http://mathworld.wolfram.com/DistributionFunction.html |author= Eric W. Weisstein |title= Distribution Function |publisher= MathWorld—A Wolfram Web Resource |accessdate= 2014-09-30}}</ref>

Якщо розподіл даних наближений до нормального, тоді кількість даних, що знаходяться в діапазоні одного стандартного відхилення від середнього значення складатиме 68 процентів від усіх даних (математично цей інтервал описується як μ&nbsp;±&nbsp;σ, де μ це арифметичне середнє), близько 95 процентів знаходяться в межах двох стандартних відхилень (μ&nbsp;±&nbsp;2σ), і близько 99.7 процентів знаходяться в межах трьох стандартних відхилень (μ&nbsp;±&nbsp;3σ). Це відомо як ''[[правило 68–95–99.7]]'', або ''емпіричне правило''.

Для різних значень ''z'', проценти значень які знаходяться в межах і за межами симетричного інтервалу, CI&nbsp;=&nbsp;(−''zσ'',&nbsp;''zσ''), є такими:
[[Файл:Confidence interval by Standard deviation.svg|thumb|Процент в межах(z)]]
[[Файл:Standard deviation by Confidence interval.svg|thumb|z(Процент в межах)]]
{{anchor|Table}}
{| class="wikitable" style="font-size:&nbsp;"
|-
! rowspan=2 | Довірчий інтервал
! Частка значень у межах
! colspan=2 | Частка значень поза межами
|-
! Процент
! Процент
! Частка
|-
|0.318 639σ
|25&nbsp;%
|75&nbsp;%
|3 / 4
|-
| {{val|0.674490}}σ
| {{val|50}}%
| {{val|50}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|2}}
|-
| {{val|0.994458}}σ
| 68&nbsp;%
| 32&nbsp;%
| 1&nbsp;/&nbsp;3.125
|-
| 1σ
| {{val|68.2689492}}%
| {{val|31.7310508}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|3.1514872}}
|-
| {{val|1.281552}}σ
| 80&nbsp;%
| 20&nbsp;%
| 1&nbsp;/&nbsp;5
|-
| {{val|1.644854}}σ
| 90&nbsp;%
| 10&nbsp;%
| 1&nbsp;/&nbsp;10
|-
| {{val|1.959964}}σ
| 95&nbsp;%
| 5&nbsp;%
| 1&nbsp;/&nbsp;20
|-
| 2σ
| {{val|95.4499736}}%
| {{val|4.5500264}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|21.977895}}
|-
| {{val|2.575829}}σ
| 99&nbsp;%
| 1&nbsp;%
| 1&nbsp;/&nbsp;100
|-
| 3σ
| {{val|99.7300204}}%
| {{val|0.2699796}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;370.398
|-
| {{val|3.290527}}σ
| 99.9&nbsp;%
| 0.1&nbsp;%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|1000}}
|-
| {{val|3.890592}}σ
| 99.99&nbsp;%
| 0.01&nbsp;%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|10000}}
|-
| 4σ
| {{val|99.993666}}%
| {{val|0.006334}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|15787}}
|-
| {{val|4.417173}}σ
| 99.999&nbsp;%
| 0.001&nbsp;%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|100000}}
|-
| ''[[Шість сигма|{{val|4.5}}]]''σ
| ''{{gaps|99.999|320|465|3751%}}''
| ''{{gaps|0.000|679|534|6249%}}''
| ''3.4&nbsp;/&nbsp;{{val|1000000}} (з кожного боку від середнього значення)''
|-
| {{val|4.891638}}σ
| {{val|99.9999}}%
| {{val|0.0001}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|1000000}}
|-
| 5σ
| {{val|99.9999426697}}%
| {{val|0.0000573303}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|1744278}}
|-
| {{val|5.326724}}σ
| {{val|99.99999}}%
| {{val|0.00001}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|10000000}}
|-
| {{val|5.730729}}σ
| {{val|99.999999}}%
| {{val|0.000001}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|100000000}}
|-
| 6σ
| {{val|99.9999998027}}%
| {{val|0.0000001973}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|506797346}}
|-
| {{val|6.109410}}σ
| {{val|99.9999999}}%
| {{val|0.0000001}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|1000000000}}
|-
| {{val|6.466951}}σ
| {{val|99.99999999}}%
| {{val|0.00000001}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|10000000000}}
|-
| {{val|6.806502}}σ
| {{val|99.999999999}}%
| {{val|0.000000001}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|100000000000}}
|-
| 7σ
| {{gaps|99.999|999|999|7440%}}
| {{val|0.000000000256}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|390682215445}}
|}

== Методи швидкого розрахунку ==

За допомогою двох наступних формул можна розрахувати поточне (постійно оновлюване) значення стандартного відхилення. Множина із двох степеневих сум ''s''<sub>1</sub> і ''s''<sub>2</sub> розраховується для множини ''N'' значень ''x'', що позначаються як ''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub>''N''</sub>:

: <math>\ s_j=\sum_{k=1}^N{x_k^j}.</math>

Отримавши результати цих двох поточних сум, величини ''N'', ''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub> у будь-який момент можна застосувати для розрахунку ''поточне'' значення стандартного відхилення:

: <math>\sigma = \frac{\sqrt{Ns_2-s_1^2} }{N}</math>

Де N, як уже згадувалося вище, задає розмір множини значень (або його можна розглядати як ''s''<sub>0</sub>).

Аналогічно для стандартного відхилення вибірки,

: <math>s = \sqrt{\frac{Ns_2-s_1^2}{N(N-1)}}.</math>

При комп'ютерних розрахунках, суми ''s''<sub>''j''</sub> можуть стати великими, тому необхідно брати до у ваги похибку округлення, [[Переповнення (програмне)|арифметичне переповнення]], та [[Зникнення порядку|зникнення порядку]]. Наступний метод розрахунку дозволяє отримати суми із зменшеною похибкою округлення.<ref>{{cite journal |author=Welford, BP |title=Note on a Method for Calculating Corrected Sums of Squares and Products |url=http://zach.in.tu-clausthal.de/teaching/info_literatur/Welford.pdf |journal=Technometrics |volume=4 |issue=3 |date=August 1962 |pages=419–420 |doi=10.1080/00401706.1962.10490022 |accessdate=11 червень 2018 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20170202061010/http://zach.in.tu-clausthal.de/teaching/info_literatur/Welford.pdf |archivedate=2 лютий 2017 |deadurl=yes }}</ref> Це алгоритм що має «один прохід» при розрахунку вибірки з ''n'' елементами без потреби зберігати попередні дані під час розрахунку. Такий метод дасть прийнятний результат при розрахунку стандартного відхилення для послідовних значень часових рядів для ''n'' точок даних, де ''n'' зростає із кожним новим значенням, і не потребує виконувати постійний розрахунок методом ковзаючого інтервалу.

Для ''k'' = 1, …, ''n'':

: <math>\begin{align}
A_0 &= 0\\
A_k &= A_{k-1}+\frac{x_k-A_{k-1}}{k}
\end{align}</math>

де A&nbsp;— середнє значення.
: <math>\begin{align}
Q_0 &= 0\\
Q_k &= Q_{k-1}+\frac{k-1}{k} (x_k-A_{k-1})^2 = Q_{k-1}+ (x_k-A_{k-1})(x_k-A_k)\\
\end{align}</math>

Слід зауважити: <math>Q_1 = 0</math> оскільки <math>k-1 = 0</math> або <math>x_1 = A_1</math>

Проста дисперсія:
: <math>s^2_n=\frac{Q_n}{n-1}</math>
Дисперсія сукупності:
: <math>\sigma^2_n=\frac{Q_n}{n}</math>

=== Розрахунок зважених значень ===

Коли значення ''x<sub>i</sub>'' зважені за допомогою нерівних значень ваги ''w<sub>i</sub>'', степеневі суми ''s''<sub>0</sub>, ''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub> будуть розраховуватися так:

: <math>\ s_j=\sum_{k=1}^N{w_k x_k^j}.\,</math>

А рівняння стандартного відхилення залишається незмінним. Зауважте, що ''s''<sub>0</sub> тепер є сумою вагових коефіцієнтів, а не просто кількість елементів у вибірці ''N''.

Також можна застосувати метод інкрементального розрахунку, із додатковою складністю розрахунків.

Необхідно розрахувати зростаючу суму вагових коефіцієнтів для кожного ''k'' від 1 до ''n'':
: <math>\begin{align}
W_0 &= 0\\
W_k &= W_{k-1} + w_k
\end{align}</math>

а в тих місцях формул, де використовувалося 1/''n'', необхідно підставити замість нього ''w<sub>i</sub>''/''W<sub>n</sub>'':
: <math>\begin{align}
A_0 &= 0\\
A_k &= A_{k-1}+\frac{w_k}{W_k}(x_k-A_{k-1})\\
Q_0 &= 0\\
Q_k &= Q _{k-1} + \frac{w_k W_{k-1}}{W_k}(x_k-A_{k-1})^2 = Q_{k-1}+w_k(x_k-A_{k-1})(x_k-A_k)
\end{align}</math>

У фінальному відношенні,
: <math>\sigma^2_n=\frac{Q_n}{W_n}\,</math>
і
: <math>s^2_n = \frac{Q_n}{W_n-1},</math>
або
: <math>s^2_n = \frac{n'}{n'-1} \sigma^2_n,</math>
де n&nbsp;— загальна кількість елементів, а n'&nbsp;— кількість елементів із нульовою вагою.
Вищенаведені формули стануть ідентичними тим спрощеним формулам, що були наведені раніше, якщо значення вагових коефіцієнтів всі прийняти рівними одиниці.

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}

* [[Центральний момент]]

== Посилання ==
{{reflist}}

{{Math-stub}}


{{Статистика|описова}}

[[Категорія:Статистичне відхилення та дисперсія]]
[[Категорія:Зведена статистика]]