Перегляд вихідного коду сторінки Числа Ейлера

{{не плутати|Числа Ейлера I роду|числами Єйлера I рода}}
'''Числа Ейлера'''&nbsp;— у [[Математика|математиці]]&nbsp;— [[послідовність]] e n [[Цілі числа|цілих чисел]] (послідовність [[oeis:A122045|A122045]] в [[Енциклопедія послідовностей цілих чисел|OEIS]]), що визначається розкладанням [[Ряд Тейлора|ряду Тейлора]], де cosht&nbsp;— [[Гіперболічні функції|гіперболічний косинус]].
: <math>\frac{1}{\cosh t} = \frac{2}{e^{t} + e^ {-t} } = \sum_{n=0}^\infty  \frac{E_n}{n!} \cdot t^n</math>,
: Числа Ейлера пов'язані зі спеціальним значенням [[Многочлени Бернуллі|многочленів Ейлера]], а саме:
: <math>E_n=2^nE_n(\tfrac 12).</math>
: Числа Ейлера з'являються в розширеннях [[Ряд Тейлора|ряду Тейлора]] [[Гіперболічні функції|секансом]] і [[Гіперболічні функції|гіперболічним секансом]] функцій. Останнє є функцією у визначенні. Вони також зустрічаються в [[Комбінаторика|комбінаториці]], зокрема при підрахунку кількості [[перестановок]] множини з парним числом елементів, які чергуються.

== Приклади ==
Непарні індексовані числа Ейлера дорівнюють [[0 (число)|нулю]]. Парні індексовані (послідовність [[oeis:A028296|A028296]] в [[Енциклопедія послідовностей цілих чисел|OEIS]]) мають змінні знаки. Деякі значення
{|
|''E''<sub>0</sub> ||=||align=right| 1
|-
|''E''<sub>2</sub> ||=||align=right| −1
|-
|''E''<sub>4</sub> ||=||align=right| 5
|-
|''E''<sub>6</sub> ||=||align=right| −61
|-
|''E''<sub>8</sub> ||=||align=right| {{val|1385|fmt=gaps}}
|-
|''E''<sub>10</sub> ||=||align=right| {{val|−50521}}
|-
|''E''<sub>12</sub> ||=||align=right| {{val|2702765}}
|-
|''E''<sub>14</sub> ||=||align=right| {{val|−199360981}}
|-
|''E''<sub>16</sub> ||=||align=right| {{val|19391512145}}
|-
|''E''<sub>18</sub> ||=||align=right| {{val|−2404879675441}}
|}
Деякі автори повторно індексують послідовність, щоб пропустити непарні числа Ейлера з нульовим значенням, або змінити всі знаки на позитивні. Ця стаття дотримується прийнятої вище угоди.

== Явні формули ==

=== Як ітераційна сума ===
Явною формулою для номерів Ейлера є:<ref>[http://www.voofie.com/content/117/an-explicit-formula-for-the-euler-zigzag-numbers-updown-numbers-from-power-series/ Ross Tang, «An Explicit Formula for the Euler zigzag numbers (Up/down numbers) from power series»] {{webarchive | url=https://web.archive.org/web/20120511083735/http://www.voofie.com/content/117/an-explicit-formula-for-the-euler-zigzag-numbers-updown-numbers-from-power-series/ | date=11-05-2012}}</ref>


: <math>E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1} \sum _{j=0}^k \binom{k}{j}\frac{(-1)^j(k-2j)^{2n+1}}{2^k i^k k}</math>

де i означає [[Уявна одиниця|уявну одиницю]] з {{math|''i''<sup>2</sup> {{=}} −1}}.

=== Як сума над розділами ===
Число Ейлера E2n можна виразити у вигляді суми над парним [[Розбиття числа|розбиттям]] {{math|2''n''}},<ref>{{cite journal | first1=David C. | last1= Vella | title=Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers | journal=Integers | volume=8 | issue=1 | pages=A1 | year=2008 | url= http://www.integers-ejcnt.org/vol8.html}}</ref>

: <math>  E_{2n} = (2n)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq n}  \left( \begin{array}{c} K \\ k_1, \ldots , k_n \end{array} \right)
	\delta_{n,\sum mk_m }  \left( -\frac{1}{2!} \right)^{k_1} \left( -\frac{1}{4!} \right)^{k_2}
	\cdots \left( -\frac{1}{(2n)!} \right)^{k_n} ,</math>

а також суму за непарним розбиттям {{math|2''n'' − 1}},<ref>{{cite arxiv | eprint=1103.1585 | first1= J. | last1=Malenfant | title=Finite, Closed-form Expressions for the Partition Function and for Euler, Bernoulli, and Stirling Numbers| class= math.NT | year= 2011 }}</ref>

: <math> 	 E_{2n} =  (-1)^{n-1} (2n-1)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq 2n-1}
	 \left( \begin{array} {c} K \\ k_1, \ldots , k_n \end{array} \right)
	\delta_{2n-1,\sum (2m-1)k_m }   \left( -\frac{1}{1!} \right)^{k_1}  \left( \frac{1}{3!} \right)^{k_2}
	   \cdots \left( \frac{(-1)^n}{(2n-1)!} \right)^{k_n}   , </math>

де в обох випадках {{math|''K'' {{=}} ''k''<sub>1</sub> + ··· + ''k<sub>n</sub>''}} та

: <math> \left( \begin{array}{c} K \\ k_1, \ldots , k_n \end{array} \right)
          \equiv \frac{ K!}{k_1! \cdots k_n!}</math>

є [[Поліноміальна теорема|багаточленним коефіцієнтом]]. [[Символ Кронекера|Дельта Кронекера]] у вищенаведених формулах обмежує суми над {{mvar|k}}s to {{math|2''k''<sub>1</sub> + 4''k''<sub>2</sub> + ··· + 2''nk<sub>n</sub>'' {{=}} 2''n''}} та до {{math|''k''<sub>1</sub> + 3''k''<sub>2</sub> + ··· + (2''n'' − 1)''k<sub>n</sub>'' {{=}} 2''n'' − 1}}, відповідно.

Як приклад,

: <math>
\begin{align}
E_{10} & = 10! \left( - \frac{1}{10!} + \frac{2}{2!\,8!} + \frac{2}{4!\,6!}
	- \frac{3}{2!^2\, 6!}- \frac{3}{2!\,4!^2} +\frac{4}{2!^3\, 4!} - \frac{1}{2!^5}\right) \\
& = 9! \left( - \frac{1}{9!} + \frac{3}{1!^2\,7!} + \frac{6}{1!\,3!\,5!}
	+\frac{1}{3!^3}- \frac{5}{1!^4\,5!} -\frac{10}{1!^3\,3!^2} + \frac{7}{1!^6\, 3!} - \frac{1}{1!^9}\right) \\
& = -50\,521.
\end{align}
</math>

=== Як визначник ===
{{math|''E''<sub>2''n''</sub>}} також дається [[Визначник|визначником]]

: <math>
\begin{align}
E_{2n} &=(-1)^n (2n)!~ \begin{vmatrix}   \frac{1}{2!}& 1 &~& ~&~\\
                                                             \frac{1}{4!}&  \frac{1}{2!} & 1 &~&~\\
                                                                 \vdots & ~  &  \ddots~~ &\ddots~~ & ~\\
                                                               \frac{1}{(2n-2)!}& \frac{1}{(2n-4)!}& ~&\frac{1}{2!} &  1\\
                                                               \frac{1}{(2n)!}&\frac{1}{(2n-2)!}& \cdots &  \frac{1}{4!} & \frac{1}{2!}\end{vmatrix}.

\end{align}
 </math>

== Асимптотичне наближення ==
Числа Ейлера швидко зростають для великих індексів, оскільки вони мають нижню межу

: <math> |E_{2 n}| > 8 \sqrt { \frac{n}{\pi} } \left(\frac{4 n}{ \pi e}\right)^{2 n}. </math>

== Ейлерові зигзагоподібні числа ==
[[Ряд Тейлора]] {{math|sec ''x'' + tan ''x''}} є

: <math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{A_n}{n!}x^n,</math>

де {{mvar|A<sub>n</sub>}}&nbsp;— [[Зигзагоподібні числа Ейлера|зигзагоподібні числа Ейлера]], починаючи з

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, … (послідовність [[oeis:A000111|A000111]] в [[Енциклопедія послідовностей цілих чисел|OEIS]])

Для всіх парних {{mvar|n}},

: <math>A_n = (-1)^\frac{n}{2} E_n,</math>

де {{mvar|''E<sub>n</sub>''}}&nbsp;— число Ейлера; і для всіх непарних {{mvar|n}},

: <math>A_n = (-1)^\frac{n-1}{2}\frac{2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1},</math>

де {{mvar|''B<sub>n</sub>''}}&nbsp;— [[Числа Бернуллі|число Бернуллі]].

Для кожного ''n'',
: <math>\frac{A_{n-1}}{(n-1)!}\sin{\left(\frac{n\pi}{2}\right)}+\sum_{m=0}^{n-1}\frac{A_m}{m!(n-m-1)!}\sin{\left(\frac{m\pi}{2}\right)}=\frac{1}{(n-1)!}.</math>{{cn|date=вересень 2016}}

== Див. також ==
* [[Стала Ейлера — Маскероні]]
* [[Число Белла]]
* [[Числа Бернуллі]]

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Зовнішні посилання ==
* {{springer|title=Euler numbers|id=p/e036540}}
* {{MathWorld|urlname=EulerNumber|title=Euler number}}